ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 882: Разность квадратов. Сумма и разность кубов
Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Павел Лебедев, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Найдите наибольшее или наименьшее значение выражения, если такое значение существует
а) (5a - 0,2)(0,2+5a)
б) (12 - 7y)(7y + 12)
в) (13a - 0,3)(0,3+13a)
г) (10 - 9m)(9m + 10).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
В каждом пункте мы видим произведение двух скобок. Заметим, что это можно представить в виде формулы разности квадратов: (x-y)(x+y)=x2-y2. После упрощения выражения мы получим квадрат переменной с отрицательным коэффициентом (или положительным, но тогда минимум будет при нуле). Нам нужно проанализировать полученную функцию вида C-k·z2 или k·z2-C, чтобы найти экстремум.
Вычисление:
а) Выражение: (5a-0,2)(0,2+5a). Перепишем множители в удобном порядке: (5a-0,2)(5a+0,2). Применяем формулу разности квадратов: (5a)2-(0,2)2=25a2-0,04 Так как a2≥0 для любого действительного числа a, то минимальное значение 25a2 равно 0 (при a=0). Следовательно, наименьшее значение всего выражения: 0-0,04=-0,04. Наибольшего значения не существует, так как при увеличении |a| выражение стремится к бесконечности.
б) Выражение: (12-7y)(7y+12). Перепишем вторые скобки: (12-7y)(12+7y). Применяем формулу разности квадратов: 122-(7y)2=144-49y2 Так как y2≥0, то -49y2≤0. Максимальное значение достигается, когда вычитаемое минимально, то есть когда y=0. При y=0 значение выражения равно 144. Это наибольшее значение. Наименьшего значения не существует (выражение уходит в минус бесконечность).
в) Выражение: (13a-0,3)(0,3+13a). Перепишем: (13a-0,3)(13a+0,3). Формула разности квадратов: (13a)2-(0,3)2=169a2-0,09 Аналогично пункту а): a2≥0, значит минимальное значение 169a2 равно 0. Наименьшее значение выражения: 0-0,09=-0,09. Наибольшего значения нет.
г) Выражение: (10-9m)(9m+10). Перепишем: (10-9m)(10+9m). Формула разности квадратов: 102-(9m)2=100-81m2 Аналогично пункту б): m2≥0, значит -81m2≤0. Максимум достигается при m=0. Наибольшее значение выражения: 100. Наименьшего значения нет.
Проверка и вывод:
Во всех случаях мы свели исходные произведения к виду A-Bz2 или Bz2-A. Квадрат любого действительного числа неотрицателен (z2≥0). Поэтому если перед квадратом стоит знак «минус», функция имеет максимум при z=0. Если перед квадратом стоит знак «плюс» (как в пунктах а и в после раскрытия скобок получилось +25a2...), то функция имеет минимум при z=0. Ответы согласуются с логикой свойств квадратичных функций.
а) наименьшее: -0,04
б) наибольшее: 144
в) наименьшее: -0,09
г) наибольшее: 100
Использована формула сокращенного умножения (разность квадратов). Анализ знака коэффициента при квадрате переменной позволяет определить наличие максимума или минимума.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 882 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 882?
Краткий ответ: а) наименьшее: -0,04; б) наибольшее: 144; в) наименьшее: -0,09; г) наибольшее: 100.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 12. Разность квадратов. Сумма и разность кубов.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.