ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 890: Разность квадратов. Сумма и разность кубов
Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Никита Ершов, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите, что сумма произведения трёх последовательных целых чисел и среднего из них равна кубу среднего числа. 1) Проверьте на примере чисел 19, 20, 21. 2) Составьте выражение, обозначив через p одно из чисел (одному — наименьшее, другому — среднее), и преобразуйте его. 3) Проверьте правильность преобразований другого ученика и сравните сложность.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- В пункте 1 выполним проверку утверждения на конкретных числах 19, 20, 21.
- В пункте 2 введём переменную p для обозначения одного из чисел, запишем алгебраическое выражение и упростим его до куба среднего числа.
- В пункте 3 проанализируем альтернативный способ записи (через среднее число) и сравним сложность вычислений с первым вариантом.
Вычисление:
1) Проверка на примере чисел 19, 20, 21.
Среднее число здесь — 20. Его куб равен:
203=8000
Произведение трёх последовательных чисел:
19·20·21=380·21=7980
Сумма произведения и среднего числа:
7980+20=8000
Результаты совпадают: 8000=8000. Утверждение верно для данного примера.
2) Составление и преобразование выражения.
Обозначим через p наименьшее из трёх последовательных целых чисел. Тогда три числа будут выглядеть так: p, p+1, p+2.
Среднее число равно p+1.
По условию нужно найти сумму произведения этих трёх чисел и среднего числа:
A=p(p+1)(p+2)+(p+1)
Преобразуем это выражение, чтобы доказать, что оно равно кубу среднего числа (p+1)3.
Вынесем общий множитель (p+1) за скобки:
A=(p+1)[p(p+2)+1]
Раскроем скобки внутри квадратных скобок:
p(p+2)+1=p2+2p+1
Заметим, что полученное выражение является полным квадратом суммы по формуле сокращённого умножения:
p2+2p+1=(p+1)2
Подставим обратно в выражение для A:
A=(p+1)·(p+1)2=(p+1)3
Таким образом, сумма равна кубу среднего числа.
3) Сравнение способов.
Если бы ученик обозначил через p среднее число, то три числа были бы p-1, p, p+1.
Тогда произведение плюс среднее число записалось бы как:
B=(p-1)p(p+1)+p
Используя формулу разности квадратов (p-1)(p+1)=p2-1, получаем:
B=p(p2-1)+p=p3-p+p=p3
Это доказательство также верно и приводит к результату сразу.
Сравнение сложности: Второй способ (обозначение среднего числа за p) часто считается более элегантным и быстрым, так как позволяет сразу использовать формулу разности квадратов и избежать раскрытия скобок при умножении трёх двучленов или вынесения общего множителя. Однако первый способ (обозначение наименьшего числа за p) также полностью корректен и демонстрирует навыки группировки и применения формулы полного квадрата.
Проверка:
Мы показали, что для произвольного целого p (как наименьшего числа) выражение p(p+1)(p+2)+(p+1) тождественно равно (p+1)3. Это подтверждает общее утверждение задачи. Числовая проверка в пункте 1 согласуется с алгебраическим выводом.
а) 19·20·21+20=8000=203
б) Если p — наименьшее, то p(p+1)(p+2)+(p+1)=(p+1)3
в) Обозначение среднего числа за p проще: (p-1)p(p+1)+p=p3.
Задача направлена на отработку формул сокращённого умножения. В решении важно показать два пути: через наименьшее число (требует вынесения за скобки и свертывания в квадрат) и через среднее число (прямое применение разности квадратов). Ключ не дан, поэтому решение построено строго логически.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 890 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 890?
Краткий ответ: 1) 19·20·21+20=8000=20^3; 2) Если p — наименьшее, то p(p+1)(p+2)+(p+1)=(p+1)^3; 3) Обозначение среднего числа за p проще: (p-1)p(p+1)+p=p^3.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 12. Разность квадратов. Сумма и разность кубов.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.