ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 905: Разность квадратов. Сумма и разность кубов
Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Мария Волкова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Разложить на множители выражения
а) x4-9
б) 25-n6
в) m8-a2
г) y2-p4
д) c6-d6
е) x6-a
ж) b4-y10
з) m8-n6
и) a4-b4
к) c8-d8
л) a4-16
м) 81-b4.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения этой задачи мы будем использовать формулы сокращённого умножения. В основном нам понадобятся формула разности квадратов a2-b2=(a-b)(a+b) и, в некоторых случаях, формулы суммы и разности кубов или дальнейшее разложение полученных множителей.
Рассмотрим каждый пункт по отдельности:
- а) x4-9. Представим слагаемые как квадраты: (x2)2-32. Применяем формулу разности квадратов:
x4-9=(x2-3)(x2+3) - б) 25-n6. Запишем как (5)2-(n3)2:
25-n6=(5-n3)(5+n3) - в) m8-a2. Это разность квадратов (m4)2-a2:
m8-a2=(m4-a)(m4+a) - г) y2-p4. Запишем как y2-(p2)2:
y2-p4=(y-p2)(y+p2) - д) c6-d6. Сначала представим как разность квадратов (c3)2-(d3)2:
c6-d6=(c3-d3)(c3+d3)
Теперь применим формулы разности и суммы кубов к каждому множителю:
=(c-d)(c2+cd+d2)(c+d)(c2-cd+d2) - е) x6-a. Здесь a не является полным квадратом (если только a не задано специально), поэтому разложим как разность квадратов (x3)2-(неполный корень). Однако, обычно в таких задачах подразумевается, что если под корнем нет точного числа, то оставляем так, либо считаем, что a — это просто переменная. Но строго говоря, x6-a=(x3-корень из a)(x3+корень из a). В школьном курсе алгебры 7 класса часто предполагают, что a можно представить как квадрат некоторого выражения, но здесь это невозможно без дополнительных данных. Если считать a константой, которая не раскладывается на рациональные корни, то ответ будет содержать радикалы. Но чаще всего в таких учебниках опечатка или подразумевается x6-y6. Если же оставить как есть, то наиболее вероятный ожидаемый вид для 7 класса при отсутствии указания на a=y2: задача может быть некорректна для целочисленного разложения . Однако, если предположить стандартную схему «разность квадратов», где второй член — это просто буква, то формально: x6-a=(x3-корень(a))(x3+корень(a)). Для целей школьной программы, скорее всего, имелось в виду x6-y6 или аналогичное. Оставим как нераскладываемое над рациональными числами, либо запишем через корни, если требуется полная факторизация. В контексте других пунктов, возможно, опечатка в условии, и должно быть x6-y6. Если решать строго по тексту: разложить нельзя на многочлены с рациональными коэффициентами. Примечание: Вероятно, в оригинале было x6-y6. Если так, то решение аналогично пункту д). Если же нужно решить именно x6-a, то ответ: не раскладывается на многочлены с рациональными коэффициентами.
- ж) b4-y10. Разность квадратов (b2)2-(y5)2:
b4-y10=(b2-y5)(b2+y5) - з) m8-n6. Разность квадратов (m4)2-(n3)2:
m8-n6=(m4-n3)(m4+n3) - и) a4-b4. Разность квадратов (a2)2-(b2)2:
a4-b4=(a2-b2)(a2+b2)
Первый множитель снова разность квадратов:
=(a-b)(a+b)(a2+b2) - к) c8-d8. Аналогично предыдущему:
c8-d8=(c4-d4)(c4+d4)=(c2-d2)(c2+d2)(c4+d4)=(c-d)(c+d)(c2+d2)(c4+d4) - л) a4-16. Разность квадратов (a2)2-42:
a4-16=(a2-4)(a2+4)=(a-2)(a+2)(a2+4) - м) 81-b4. Разность квадратов 92-(b2)2:
81-b4=(9-b2)(9+b2)=(3-b)(3+b)(9+b2)
Проверка правильности разложения осуществляется перемножением полученных множителей. Например, для пункта и): (a-b)(a+b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4. Результат совпадает с исходным выражением.
а) (x2-3)(x2+3)
б) (5-n3)(5+n3)
в) (m4-a)(m4+a)
г) (y-p2)(y+p2)
д) (c-d)(c+d)(c2+cd+d2)(c2-cd+d2)
е) не раскладывается на многочлены с рациональными коэффициентами (или (x3-корень(a))(x3+корень(a)))
ж) (b2-y5)(b2+y5)
з) (m4-n3)(m4+n3)
и) (a-b)(a+b)(a2+b2)
к) (c-d)(c+d)(c2+d2)(c4+d4)
л) (a-2)(a+2)(a2+4)
м) (3-b)(3+b)(9+b2).
В пункте е) выражение x6-a не является разностью квадратов двух одночленов с рациональными коэффициентами, если a не является полным квадратом. В школьной практике 7 класса такие задания обычно содержат опечатку (например, x6-y6). Решение дано с учетом этого замечания.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 905 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 905?
Краткий ответ: а) (x^2-3)(x^2+3); б) (5-n^3)(5+n^3); в) (m^4-a)(m^4+a); г) (y-p^2)(y+p^2); д) (c-d)(c+d)(c^2+cd+d^2)(c^2-cd+d^2); е) не раскладывается на многочлены с рациональными коэффициентами (или (x^3- корень(a))(x^3+ корень(a))); ж) (b^2-y^5)(b^2+y^5); з) (m^4-n^3)(m^4+n^3); и) (a-b)(a+b)(a^2+b^2); к) (c-d)(c+d)(c^2+d^2)(c^4+d^4); л) (a-2)(a+2)(a^2+4); м) (3-b)(3+b)(9+b^2).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 12. Разность квадратов. Сумма и разность кубов.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.