ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 914: Разность квадратов. Сумма и разность кубов
Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Роман Жуков, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Доказать утверждения
а) при любом натуральном n значение выражения (4n+5)2-9 делится на 4
б) при любом натуральном n значение выражения (n+7)2-n2 делится на 7.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Для доказательства делимости выражения на число необходимо упростить данное алгебраическое выражение. В обоих пунктах мы видим разность квадратов или можем раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Цель — представить результат в виде произведения, где одним из множителей является требуемое делитель (4 или 7).
Вычисление:
а) Рассмотрим выражение (4n+5)2-9.
Раскроем квадрат суммы по формуле (a+b)2=a2+2ab+b2, где a=4n, b=5:
(4n+5)2=(4n)2+2·4n·5+52=16n2+40n+25Теперь вычтем 9:
16n2+40n+25-9=16n2+40n+16Вынесем общий множитель 4 за скобки:
16n2+40n+16=4(4n2+10n+4)Так как n — натуральное число, то выражение в скобках (4n2+10n+4) также является целым числом. Следовательно, всё произведение делится на 4 без остатка.
б) Рассмотрим выражение (n+7)2-n2.
Здесь удобно применить формулу разности квадратов a2-b2=(a-b)(a+b), где a=n+7, а b=n:
(n+7)2-n2=((n+7)-n)((n+7)+n)Упростим множители:
(n+7-n)(n+7+n)=7·(2n+7)Так как n — натуральное число, то (2n+7) — целое число. Произведение 7·(2n+7) явно содержит множитель 7, значит, оно делится на 7 без остатка.
Проверка:
Подставим конкретные значения для проверки.
Для пункта а) пусть n=1. Выражение: (4·1+5)2-9=92-9=81-9=72. Число 72 делится на 4 (72:4=18). Верно.
Для пункта б) пусть n=1. Выражение: (1+7)2-12=82-1=64-1=63. Число 63 делится на 7 (63:7=9). Верно.
Доказано
а) 4(4n2+10n+4)
б) 7(2n+7).
В пункте а) использовано раскрытие скобок и вынесение общего множителя. В пункте б) применена формула разности квадратов, что быстрее приводит к нужному виду.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 914 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 914?
Краткий ответ: Доказано: а) 4(4n^2+10n+4); б) 7(2n+7).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 12. Разность квадратов. Сумма и разность кубов.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.