ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 916: Разность квадратов. Сумма и разность кубов
Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Надежда Фомина, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Задача-исследование. Верно ли утверждение: если p — простое число, большее трёх, то значение выражения p2-1 кратно 12?
а) Проверить правильность утверждения на конкретных примерах.
б) Разложить многочлен p2-1 на множители и обсудить, почему произведение кратно 4. 3) Обсудить, почему произведение делится на 3. 4) Сделать вывод.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- В пункте 1 проверим утверждение для нескольких простых чисел больше 3.
- В пункте 2 разложим выражение p2-1 на множители и докажем делимость на 4.
- В пункте 3 проанализируем остатки от деления простого числа на 3, чтобы доказать делимость произведения на 3.
- В пункте 4 объединим результаты и сделаем общий вывод.
Вычисление и рассуждения:
- Проверка на примерах. Возьмём простые числа 5,7,11,13.
Для p=5: 52-1=25-1=24. Число 24 кратно 12 (24:12=2).
Для p=7: 72-1=49-1=48. Число 48 кратно 12 (48:12=4).
Для p=11: 112-1=121-1=120. Число 120 кратно 12 (120:12=10).
Утверждение верно для этих примеров. - Разложение на множители и делимость на 4.
Используем формулу разности квадратов: p2-1=(p-1)(p+1).
Так как p — простое число больше 3, то p нечётное. Значит, соседние с ним числа p-1 и p+1 являются чётными.
Рассмотрим два последовательных чётных числа. Одно из них обязательно делится на 4, а другое — только на 2 (так как они отличаются на 2). Например, если p=5, то 4 и 6; если p=7, то 6 и 8.
Следовательно, произведение (p-1)(p+1) содержит множитель 2·4=8, а значит, оно точно делится на 4. - Делимость на 3.
Любое целое число при делении на 3 даёт остаток 0, 1 или 2.
Так как p — простое число больше 3, то p не делится на 3 (остаток не 0).
Значит, p имеет вид 3k+1 или 3k+2 (где k — натуральное число).
Если p=3k+1, то p-1=3k, то есть один из множителей делится на 3.
Если p=3k+2, то p+1=3k+3=3(k+1), то есть другой множитель делится на 3.
В любом случае произведение (p-1)(p+1) делится на 3. - Вывод.
Мы доказали, что значение выражения p2-1 делится на 4 и на 3.
Так как числа 4 и 3 взаимно просты (их наибольший общий делитель равен 1), то произведение делится на их произведение: 4·3=12.
Проверка:
Логика верна. Для любого простого p>3 число p нечётно и не кратно 3. Это гарантирует наличие двух последовательных чётных чисел в разложении (одно из которых кратно 4) и одного множителя, кратного 3. Следовательно, итоговое число всегда кратно 12.
Верно. Доказано через разложение (p-1)(p+1) и свойства делимости на 4 и 3.
Задача требует применения формулы сокращённого умножения и логики делимости. Важно подчеркнуть, что p>3 исключает случаи, когда p само делится на 3 или является чётным.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 916 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 916?
Краткий ответ: Верно. Доказано через разложение (p-1)(p+1) и свойства делимости на 4 и 3.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 12. Разность квадратов. Сумма и разность кубов.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.