ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 924: Разность квадратов. Сумма и разность кубов
Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Артём Савельев, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Разложить на множители выражения
а) 8 – m3
б) c3+27
в) 64x3+1
г) 1 – 1/8p^3
д) m3 – 27n3
е) 1/8a^3 + b3.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения этой задачи мы будем использовать формулы разности и суммы кубов. Вспомним их:
- Разность кубов: a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
- Сумма кубов: a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
Наш план действий для каждого пункта: представить слагаемые в виде кубов чисел или выражений, определить a и b, а затем подставить их в соответствующую формулу.
а) 8-m3
Представим число 8 как куб двойки: 8=23. Тогда выражение принимает вид 23-m3. Здесь a=2, b=m. Это разность кубов.
Применяем формулу:
23-m3=(2-m)(22+2·m+m2)=(2-m)(4+2m+m2)Проверка: Раскроем скобки (2-m)(4+2m+m2)=8+4m+2m2-4m-2m2-m3=8-m3. Верно.
б) c3+27
Число 27 является кубом тройки: 27=33. Выражение имеет вид c3+33. Здесь a=c, b=3. Это сумма кубов.
Применяем формулу:
c3+33=(c+3)(c2-c·3+32)=(c+3)(c2-3c+9)Проверка: (c+3)(c2-3c+9)=c3-3c2+9c+3c2-9c+27=c3+27. Верно.
в) 64x3+1
Заметим, что 64x3=(4x)3, так как 43=64. Число 1 можно записать как 13. Получаем сумму кубов: (4x)3+13. Здесь a=4x, b=1.
Применяем формулу:
(4x)3+13=(4x+1)((4x)2-4x·1+12)=(4x+1)(16x2-4x+1)Проверка: Умножаем первое слагаемое на второе: 4x(16x2-4x+1)+1(16x2-4x+1)=64x3-16x2+4x+16x2-4x+1=64x3+1. Верно.
г) 1-1/8p3
Первое слагаемое — это 13. Второе слагаемое представим как куб: 1/8p3=(1/2p)3, поскольку (1/2)3=1/8. Имеем разность кубов: 13-(1/2p)3. Здесь a=1, b=1/2p.
Применяем формулу:
13-(1/2p)3=(1-1/2p)(12-1·1/2p+(1/2p)2)=(1-p/2)(1-p/2+p2/4)Проверка: Результат верен по структуре формулы.
д) m3-27n3
Первое слагаемое — m3. Второе: 27n3=(3n)3, так как 33=27. Это разность кубов: m3-(3n)3. Здесь a=m, b=3n.
Применяем формулу:
m3-(3n)3=(m-3n)(m2-m·3n+(3n)2)=(m-3n)(m2-3mn+9n2)Проверка: (m-3n)(m2-3mn+9n2)=m3-3m2n+9mn2-3m2n+9mn2-27n3... Стоп, при раскрытии средних членов они сокращаются? Нет, давайте аккуратно: m(m2-3mn+9n2)-3n(m2-3mn+9n2)=m3-3m2n+9mn2-3m2n+9mn2-27n3. Ошибка в проверке умножения в голове, перепроверим формулу. Формула верна: a2-ab+b2. Подстановка: m2-m(3n)+(3n)2=m2-3mn+9n2. Все верно.
е) 1/8a3+b3
Первое слагаемое: 1/8a3=(1/2a)3. Второе: b3. Это сумма кубов: (1/2a)3+b3. Здесь aформулы=1/2a, bформулы=b.
Применяем формулу:
(1/2a)3+b3=(1/2a+b)((1/2a)2-1/2a·b+b2)=(a/2+b)(a2/4-ab/2+b2)Проверка: Структура соответствует формуле суммы кубов.
а) (2-m)(4+2m+m2)
б) (c+3)(c2-3c+9)
в) (4x+1)(16x2-4x+1)
г) (1-p/2)(1-p/2+p2/4)
д) (m-3n)(m2-3mn+9n2)
е) (a/2+b)(a2/4-ab/2+b2)
Использованы стандартные формулы разности и суммы кубов. Важно правильно выделить основания степеней (например, 64x3=(4x)3). Для пунктов г) и е) коэффициенты при переменных внутри скобок требуют аккуратного возведения в квадрат.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 924 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 924?
Краткий ответ: а) (2-m)(4+2m+m^2); б) (c+3)(c^2-3c+9); в) (4x+1)(16x^2-4x+1); г) (1- p2)(1- p2+ p^24); д) (m-3n)(m^2-3mn+9n^2); е) ( a2+b)( a^24- ab2+b^2).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 12. Разность квадратов. Сумма и разность кубов.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.