ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 925: Разность квадратов. Сумма и разность кубов
Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Никита Ершов, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Записать в виде произведения выражения
а) x3-y6
б) a6+b3
в) m9-n3
г) p3+k9
д) a6+b9
е) x9-y9.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения этих примеров необходимо представить каждое слагаемое в виде куба или квадрата, чтобы применить формулы сокращённого умножения: разность кубов a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2), сумма кубов a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2), а также разность квадратов a2-b2=(a-b)(a+b). В каждом пункте мы сначала определим структуру выражения, затем применим нужную формулу и упростим полученные множители.
а) Выражение x3-y6 является разностью кубов, так как y6=(y2)3. Применяем формулу разности кубов:
x3-(y2)3=(x-y2)(x2+x·y2+(y2)2)=(x-y2)(x2+xy2+y4)
б) Выражение a6+b3 является суммой кубов, так как a6=(a2)3. Применяем формулу суммы кубов:
(a2)3+b3=(a2+b)((a2)2-a2·b+b2)=(a2+b)(a4-a2b+b2)
в) Выражение m9-n3 является разностью кубов, так как m9=(m3)3. Применяем формулу разности кубов:
(m3)3-n3=(m3-n)((m3)2+m3·n+n2)=(m3-n)(m6+m3n+n2)
г) Выражение p3+k9 является суммой кубов, так как k9=(k3)3. Применяем формулу суммы кубов:
p3+(k3)3=(p+k3)(p2-p·k3+(k3)2)=(p+k3)(p2-pk3+k6)
д) Выражение a6+b9 является суммой кубов, так как a6=(a2)3 и b9=(b3)3. Применяем формулу суммы кубов:
(a2)3+(b3)3=(a2+b3)((a2)2-a2·b3+(b3)2)=(a2+b3)(a4-a2b3+b6)
е) Выражение x9-y9 можно рассматривать как разность кубов (x9=(x3)3,y9=(y3)3) или как разность квадратов (x9 не является полным квадратом в целых показателях для стандартного применения без дробей, но лучше использовать разность кубов). Однако, заметим, что x9-y9 делится на x3-y3. Но проще всего увидеть здесь разность кубов:
(x3)3-(y3)3=(x3-y3)((x3)2+x3y3+(y3)2)=(x3-y3)(x6+x3y3+y6)
Первый множитель (x3-y3) сам является разностью кубов и может быть разложен дальше:
x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)
Итого полное разложение:
(x-y)(x2+xy+y2)(x6+x3y3+y6)
а) (x-y2)(x2+xy2+y4)
б) (a2+b)(a4-a2b+b2)
в) (m3-n)(m6+m3n+n2)
г) (p+k3)(p2-pk3+k6)
д) (a2+b3)(a4-a2b3+b6)
е) (x-y)(x2+xy+y2)(x6+x3y3+y6)
В пункте е) важно заметить возможность полного разложения. Сначала применяем формулу разности кубов к x9-y9, получая произведение (x3-y3)(x6+x3y3+y6). Затем первый множитель раскладывается повторно по той же формуле. Второй множитель x6+x3y3+y6 над полем действительных чисел не разлагается далее на линейные множители с рациональными коэффициентами.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 925 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 925?
Краткий ответ: а) (x-y^2)(x^2+xy^2+y^4); б) (a^2+b)(a^4-a^2b+b^2); в) (m^3-n)(m^6+m^3n+n^2); г) (p+k^3)(p^2-pk^3+k^6); д) (a^2+b^3)(a^4-a^2b^3+b^6); е) (x-y)(x^2+xy+y^2)(x^6+x^3y^3+y^6).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 12. Разность квадратов. Сумма и разность кубов.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.