ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 940: Преобразование целых выражений
Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Артём Савельев, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Работа в парах. Вставьте пропущенное число в выражение (n + 8)(n-4)-(n+3)(n - 2) + ... так, чтобы результат делился на 3 при любом целом n. Выполните шаги: преобразуйте произведения двучленов, обсудите условие для числа, впишите его и проверьте.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения этой задачи нам нужно упростить данное алгебраическое выражение и найти такое число, которое обеспечит делимость результата на 3 при любом целом n. Обозначим пропущенное число за x. Тогда полное выражение будет выглядеть так: (n+8)(n-4)-(n+3)(n-2)+x.
Сначала раскроем скобки в каждом произведении двучленов. Воспользуемся правилом умножения многочлена на многочлен:
- (n+8)(n-4)=n2-4n+8n-32=n2+4n-32
- (n+3)(n-2)=n2-2n+3n-6=n2+n-6
Теперь подставим полученные результаты обратно в исходное выражение, учитывая знак минус перед второй скобкой:
(n2+4n-32)-(n2+n-6)+x
Раскроем внешние скобки, меняя знаки слагаемых во второй группе на противоположные:
n2+4n-32-n2-n+6+x
Приведем подобные слагаемые. Члены с n2 сокращаются (n2-n2=0). Складываем члены с n: 4n-n=3n. Свободные числа: -32+6=-26. В итоге получаем упрощенное выражение:
3n-26+x
Нам нужно, чтобы это выражение делилось на 3 при любом целом n. Заметим, что первое слагаемое 3n всегда делится на 3, так как содержит множитель 3. Следовательно, делимость всего выражения на 3 зависит только от части -26+x. Чтобы сумма (-26+x) делилась на 3, само число x должно быть таким, чтобы остаток от деления x на 3 компенсировал остаток от деления -26 на 3.
Найдем остаток от деления -26 на 3. Так как 26=3·8+2, то -26=3·(-9)+1. Остаток равен 1. Или проще: -26+27=1, значит -26≡1pmod3. Нам нужно, чтобы 1+x делилось на 3. Это возможно, если x дает остаток 2 при делении на 3 (так как 1+2=3).
Самое простое положительное целое число, удовлетворяющее этому условию — это x=2. Проверим: если x=2, то выражение равно 3n-26+2=3n-24=3(n-8). Это число явно кратно 3.
Также подходят другие числа вида 3k+2, например, 5,8,-1 и т.д. Но обычно в таких задачах ищут наименьшее натуральное или простое положительное решение. Возьмем x=2.
2
В условии требуется вставить число так, чтобы результат делился на 3. После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых выражение принимает вид 3n-26+x. Поскольку 3n делится на 3, необходимо, чтобы -26+x делилось на 3. -26 дает остаток 1 при делении на 3 (или эквивалентно -2≡1pmod3). Чтобы сумма делилась на 3, x должен давать остаток 2 при делении на 3 (1+2=3). Наименьшее натуральное такое число — 2.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 940 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 940?
Краткий ответ: 2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 13. Преобразование целых выражений.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.