ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 953: Преобразование целых выражений

План решения:

Для доказательства тождества a⁸-b⁸=(a-b)(a+b)(a²+b²)(a⁴+b) необходимо проанализировать правую часть равенства. Мы будем последовательно применять формулу разности квадратов x²-y²=(x-y)(x+y) к множителям в правой части, чтобы упростить выражение и привести его к виду левой части.

Вычисление:

Рассмотрим правую часть тождества:

Сгруппируем первые два множителя (a-b) и (a+b). По формуле разности квадратов их произведение равно:

Теперь подставим этот результат обратно в исходное выражение:

Далее сгруппируем множители (a²-b²) и (a²+b²). Опять применим формулу разности квадратов, где x=a² и y=b²:

Подставим полученный результат в выражение:

Здесь мы видим, что дальнейшее упрощение до a⁸-b⁸ невозможно стандартными формулами сокращённого умножения, так как второй множитель содержит a⁴+b, а не a⁴+b⁴. Если бы в условии было (a⁴+b⁴), то мы получили бы a⁸-b⁸. Однако в данном условии стоит (a⁴+b).

Давайте раскроем скобки в выражении (a⁴-b⁴)(a⁴+b), чтобы увидеть итоговый многочлен:

Это выражение явно не равно a⁸-b⁸.

Проверка и вывод:

В условии задачи, вероятно, содержится опечатка: последний множитель должен быть (a⁴+b⁴), а не (a⁴+b). Стандартное доказательство для исправленного варианта выглядит так:

1. (a-b)(a+b)=a²-b²
2. (a²-b²)(a²+b²)=a⁴-b⁴
3. (a⁴-b⁴)(a⁴+b⁴)=a⁸-b⁸

Однако, строго следуя тексту условия (a⁴+b), тождество не является верным . Левая часть равна a⁸-b⁸, а правая после раскрытия скобок равна a⁸+a^4b-a^4b4-b⁵. Эти выражения не равны при общих значениях переменных (например, при a=2,b=1: ЛЧ =256-1=255, ПЧ =(1)(3)(5)(17)=255? Нет, проверим: (2-1)(2+1)(4+1)(16+1)=1·3·5·17=255. А если a=2,b=1 в условии a⁴+b, то (16+1)=17. Тогда 1·3·5·17=255. И 2⁸-1⁸=255. Совпало?

Проверим другой случай: a=1,b=0. ЛЧ: 1⁸-0=1. ПЧ: (1-0)(1+0)(1+0)(1+0)=1. Совпало. Проверим a=2,b=2. ЛЧ: 2⁸-2⁸=0. ПЧ: (0)(...)=0. Совпало. Проверим a=3,b=1. ЛЧ: 3⁸-1=6561-1=6560. ПЧ: (3-1)(3+1)(9+1)(81+1)=2·4·10·82=80·82=6560. Совпало!

Подождите, я ошибся в алгебраическом выводе выше. Давайте пересчитаем раскрытие скобок для (a⁴-b⁴)(a⁴+b): a⁸+a^4b-a^4b4-b⁵. Это точно не a⁸-b⁸. Но почему численная проверка совпала? При a=3,b=1: a⁴+b=81+1=82. a⁴+b⁴=81+1=82. При b=1 они равны! Поэтому при b=1 тождество выполняется случайно. Возьмём b=2,a=3. ЛЧ: 3⁸-2⁸=6561-256=6305. ПЧ: (3-2)(3+2)(9+4)(81+2)=1·5·13·83=65·83=5395. 6305≠5395. Значит, тождество неверно.

Таким образом, в условии учебника допущена опечатка: вместо (a⁴+b) должно стоять (a⁴+b⁴). Доказательство верно только для исправленного варианта.