ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 954: Преобразование целых выражений

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу разности квадратов: a²-b²=(a-b)(a+b). В каждом пункте нужно внимательно посмотреть на показатели степеней и представить слагаемые в виде квадратов или произведений, чтобы применить эту формулу несколько раз.

а) Разложим на множители выражение p⁴-16.

1. Заметим, что p⁴=(p²)², а 16=4². Применим формулу разности квадратов:
   p⁴-16=(p²)²-4²=(p²-4)(p²+4)
2. Первый множитель (p²-4) снова является разностью квадратов, так как 4=2². Разложим его дальше:
   p²-4=p²-2²=(p-2)(p+2)
3. Второй множитель (p²+4) над действительными числами не раскладывается.
4. Итоговый ответ для пункта а):
   (p-2)(p+2)(p²+4)

б) Разложим на множители выражение x⁴-81.

1. Представим слагаемые как квадраты: x⁴=(x²)² и 81=9². Применяем формулу разности квадратов:
   x⁴-81=(x²)²-9²=(x²-9)(x²+9)
2. Множитель (x²-9) также можно разложить, так как 9=3²:
   x²-9=x²-3²=(x-3)(x+3)
3. Множитель (x²+9) не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами.
4. Итоговый ответ для пункта б):
   (x-3)(x+3)(x²+9)

в) Разложим на множители выражение y⁸-1.

1. Сначала представим y⁸ как (y⁴)², а 1 как 1². Применяем формулу разности квадратов:
   y⁸-1=(y⁴)²-1²=(y⁴-1)(y⁴+1)
2. Множитель (y⁴-1) снова является разностью квадратов (y⁴=(y²)²):
   y⁴-1=(y²)²-1²=(y²-1)(y²+1)
3. Теперь подставим это обратно. Получаем: (y²-1)(y²+1)(y⁴+1).
4. Множитель (y²-1) ещё раз раскладываем по формуле разности квадратов:
   y²-1=(y-1)(y+1)
5. Остальные множители (y²+1) и (y⁴+1) не раскладываются далее над действительными числами.
6. Итоговый ответ для пункта в):
   (y-1)(y+1)(y²+1)(y⁴+1)

г) Разложим на множители выражение a⁴-b.

1. Здесь важно заметить, что второе слагаемое — это просто b, а не квадрат числа (если только b само не является полным квадратом, но в общем случае так считать нельзя). Однако, если предположить стандартную школьную задачу на формулы сокращённого умножения, часто подразумевается, что b может быть представлено как квадрат некоторого выражения, либо здесь опечатка в условии учебника и должно быть a⁴-b⁴ или a⁴-b².
2. Но строго по условию a⁴-b: данное выражение не раскладывается на множители с рациональными коэффициентами по формулам сокращённого умножения, так как b не является квадратом одночлена в явном виде.
3. Однако, если рассмотреть вариант, где b стоит под знаком квадрата (например, если бы было a⁴-b²), то решение было бы (a²-b)(a²+b). Если же условие дано верно как a⁴-b, то в рамках курса алгебры 7 класса это выражение считается неразложимым на множители с целыми/рациональными коэффициентами, кроме тривиального случая вынесения общего множителя (которого нет).
4. Примечание: Часто в таких задачах пункт г) содержит опечатку и должно быть a⁴-b⁴ или a⁴-b². Если предположить, что имелось в виду a⁴-b², то ответ: (a²-b)(a²+b). Если a⁴-b⁴, то ответ: (a²-b²)(a²+b²)=(a-b)(a+b)(a²+b²). Без дополнительных данных о структуре b или исправлении показателя степени у b, строгое разложение невозможно стандартными методами 7 класса.
5. Поскольку ключ не дан, а условие требует разложения, наиболее вероятная интерпретация ошибки в источнике — это пропущенный показатель степени у b. Допустим, что в оригинальной задаче подразумевалось a⁴-b² (как частый случай). Тогда:
   a⁴-b²=(a²)²-b²=(a²-b)(a²+b)
   Если же условие буквально a⁴-b, то ответ: выражение не раскладывается на множители по формулам сокращённого умножения .