ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 967: Преобразование целых выражений
Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Анна Соколова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите, что значения многочлена x3-x при целых значениях x кратны числу 6.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Чтобы доказать, что значение многочлена x3-x кратно числу 6 при любом целом x, нужно разложить выражение на множители и показать, что среди полученных множителей всегда найдутся числа, произведение которых делится на 6. Число 6 раскладывается как 2·3. Значит, нам нужно доказать, что произведение содержит множитель 2 и множитель 3.
Вычисление:
- Разложим многочлен x3-x на множители. Вынесем общий множитель x за скобки: x3-x=x(x2-1) Используем формулу разности квадратов a2-b2=(a-b)(a+b) для выражения в скобках: x(x2-1)=x(x-1)(x+1) Переставим множители в порядке возрастания для удобства анализа: (x-1)·x·(x+1)
- Проанализируем полученное произведение. Мы видим произведение трех последовательных целых чисел: x-1, x и x+1.
- Докажем делимость на 2. Среди любых двух последовательных целых чисел одно обязательно четное. В нашем наборе из трех чисел есть пара соседних (например, x-1 и x, или x и x+1). Следовательно, хотя бы один из множителей делится на 2. Значит, все произведение делится на 2.
- Докажем делимость на 3.
При делении любого целого числа на 3 остаток может быть равен 0, 1 или 2.
- Если x делится на 3 (остаток 0), то множитель x кратен 3.
- Если x дает остаток 1 при делении на 3 (x=3k+1), то число x-1=3k делится на 3.
- Если x дает остаток 2 при делении на 3 (x=3k+2), то число x+1=3k+3=3(k+1) делится на 3.
Проверка и вывод:
Мы доказали, что выражение (x-1)x(x+1) делится на 2 и на 3. Так как числа 2 и 3 взаимно просты (их наибольший общий делитель равен 1), то произведение делится на их наименьшее общее кратное, то есть на 2·3=6. Примеры для проверки:
- При x=2: 23-2=8-2=6, кратно 6.
- При x=3: 33-3=27-3=24, кратно 6 (24:6=4).
- При x=-2: (-2)3-(-2)=-8+2=-6, кратно 6.
Значения многочлена x3-x равны произведению трех последовательных целых чисел (x-1)x(x+1), которое всегда делится на 2 и на 3, а значит, и на 6.
Ключевая идея — разложение на множители и свойства произведения последовательных целых чисел.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 967 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 967?
Краткий ответ: Значения многочлена x^3-x равны произведению трех последовательных целых чисел (x-1)x(x+1), которое всегда делится на 2 и на 3, а значит, и на 6.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 13. Преобразование целых выражений.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.