7 класс Преобразование целых выражений § 13. Преобразование целых выражений

ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 974: Преобразование целых выражений

Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Надежда Фомина, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 973 975 →

Условие

Используя треугольник Паскаля, записать формулу шестой степени двучлена a+b. Проверить результат, умножив многочлен a+b на (a+b)⁵.

Треугольник

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Составить формулу (a+b)⁶, используя коэффициенты из шестой строки треугольника Паскаля.
Записать известную формулу для (a+b)⁵.
Выполнить умножение многочлена a+b на (a+b)⁵ и сравнить результат с полученной формулой.

Вычисление:

Треугольник Паскаля позволяет находить биномиальные коэффициенты. Строки нумеруются начиная с нулевой (для степени 0). Нам нужна шестая степень, значит, берём коэффициенты из строки с номером 6. Предыдущие строки выглядят так:

Степень 4: 1,4,6,4,1
Степень 5: 1,5,10,10,5,1
Степень 6: 1,6,15,20,15,6,1 (каждый следующий коэффициент равен сумме двух предыдущих в верхней строке).

Используя эти коэффициенты, записываем разложение по убывающим степеням a и возрастающим степеням b:

(a+b)⁶=a⁶+6a^5b+15a^4b²+20a^3b³+15a^2b⁴+6ab⁵+b⁶

Теперь проверим этот результат алгебраическим умножением. Известна формула пятой степени:

(a+b)⁵=a⁵+5a^4b+10a^3b²+10a^2b³+5ab⁴+b⁵

Умножим эту сумму на двучлен a+b. Для удобства сгруппируем слагаемые при одинаковых степенях a и b после раскрытия скобок (a+b)(a⁵+…+b⁵):

При a⁶: только a·a⁵=a⁶. Коэффициент: 1 .
При a^5b: a·5a^4b+b·a⁵=5a^5b+a^5b=6a^5b. Коэффициент: 6 .
При a^4b²: a·10a^3b²+b·5a^4b=10a^4b²+5a^4b²=15a^4b². Коэффициент: 15 .
При a^3b³: a·10a^2b³+b·10a^3b²=10a^3b³+10a^3b³=20a^3b³. Коэффициент: 20 .
При a^2b⁴: a·5ab⁴+b·10a^2b³=5a^2b⁴+10a^2b⁴=15a^2b⁴. Коэффициент: 15 .
При ab⁵: a·b⁵+b·5ab⁴=ab⁵+5ab⁵=6ab⁵. Коэффициент: 6 .
При b⁶: только b·b⁵=b⁶. Коэффициент: 1 .

Проверка:

Собрав все полученные слагаемые, мы видим, что они полностью совпадают с формулой, составленной по треугольнику Паскаля:

a⁶+6a^5b+15a^4b²+20a^3b³+15a^2b⁴+6ab⁵+b⁶

Таким образом, использование треугольника Паскаля подтверждено прямым вычислением.

Ответ

(a+b)⁶=a⁶+6a^5b+15a^4b²+20a^3b³+15a^2b⁴+6ab⁵+b⁶

В условии требуется использовать треугольник Паскаля для получения коэффициентов шестой степени. Важно не путать номера строк: для степени n используются коэффициенты из n-й строки (если первая строка '1' считается нулевой). Проверка выполняется через умножение известного разложения 5-й степени на (a+b).

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 974 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 974?

Краткий ответ: (a+b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 13. Преобразование целых выражений.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.