ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 19: Рациональные дроби и их свойства

План решения:

Чтобы дробь принимала наибольшее значение при положительном числителе, её знаменатель должен быть минимальным. Так как в обоих случаях знаменатели содержат квадраты выражений, которые всегда неотрицательны (x²≥0), нам нужно найти такое значение переменной a, при котором квадрат обращается в ноль.

Вычисление:

а) Рассмотрим дробь 4/a²+5. Числитель равен 4 и не зависит от a. Значит, дробь будет наибольшей, когда знаменатель a²+5 будет наименьшим. Так как a²≥0 для любого действительного числа a, то минимальное значение суммы a²+5 достигается тогда, когда a²=0. Отсюда следует, что a=0. При a=0 знаменатель равен 0+5=5, а значение дроби равно 4/5=0,8.

б) Рассмотрим дробь 10/(a-3)²+1. Числитель равен 10. Ищем минимум знаменателя (a-3)²+1. Квадрат разности (a-3)² принимает наименьшее возможное значение, равное 0, когда основание степени равно нулю: a-3=0 Решаем уравнение: a=3. При a=3 знаменатель равен 0+1=1, а значение дроби равно 10/1=10.

Проверка:

а) Если взять любое другое значение a, например a=1, то знаменатель станет 1²+5=6, а дробь 4/62/3≈0,67, что меньше 0,8. Значит, при a=0 действительно максимум. б) Если взять a=4, то знаменатель станет (4-3)²+1=1+1=2, а дробь 10/2=5, что меньше 10. Значит, при a=3 действительно максимум.