8 класс Рациональные дроби и их свойства § 1. Рациональные дроби и их свойства

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 21: Рациональные дроби и их свойства

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Юлия Громова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 20 22 →

Условие

Проверить верность утверждений о наибольшем или наименьшем значении дроби 18/(4x²+9 + y² + 4xy )

а) наибольшее значение равно 1

б) наибольшее значение равно 2

в) наименьшее значение равно 2.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Чтобы проверить утверждения о наибольшем и наименьшем значениях дроби 18/4x²+9+y²+4xy, необходимо проанализировать её знаменатель. Заметим, что выражение в знаменателе можно представить как сумму квадратов. Если мы найдем минимальное значение знаменателя, то получим максимальное значение всей дроби (так как числитель постоянен и положителен). И наоборот, если знаменатель может расти неограниченно, то дробь будет стремиться к нулю, но не достигать отрицательных значений.

Вычисление:

Рассмотрим знаменатель: D=4x²+4xy+y²+9. Группируем первые три слагаемых: 4x²+4xy+y². Это полный квадрат суммы (2x+y)². Таким образом, знаменатель принимает вид: D=(2x+y)²+9 Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть (2x+y)²≥0, то минимальное значение выражения (2x+y)² равно 0. Это достигается при условии 2x+y=0. Следовательно, минимальное значение всего знаменателя: D_min=0+9=9 Теперь найдем наибольшее значение самой дроби. Поскольку числитель равен 18 (положительная константа), а знаменатель всегда положителен (D≥9>0), то дробь достигает своего максимума, когда знаменатель минимален. Наибольшее значение =18/D_min=18/9=2 Проверим поведение дроби при увеличении знаменателя. Так как (2x+y)² может принимать сколь угодно большие значения, знаменатель D стремится к бесконечности. При этом сама дробь 18/D стремится к 0, оставаясь положительной. Таким образом, наименьшего значения (в смысле достижения конкретного числа) у дроби нет, она имеет нижнюю грань 0, но никогда не равна ей для конечных x,y. Однако в контексте школьных задач часто проверяют именно экстремумы на основе преобразования. Утверждение «наименьшее значение равно 2» ложно, так как 2 — это максимум.

Проверка утверждений:

а) «Наибольшее значение равно 1» . Мы вычислили, что наибольшее значение равно 2. Следовательно, это утверждение неверно .
б) «Наибольшее значение равно 2» . Наш расчет подтвердил, что при 2x+y=0 дробь равна 18/9=2, и это максимальное возможное значение. Следовательно, это утверждение верно .
в) «Наименьшее значение равно 2» . Число 2 является наибольшим значением. Наименьшего значения (как достижимого числа) у этой дроби нет (она больше 0 и меньше или равна 2). Даже если трактовать вопрос иначе, 2 точно не является минимумом. Следовательно, это утверждение неверно .

Ответ

а) неверно

б) верно

в) неверно

Знаменатель сводится к сумме квадратов (2x+y)²+9. Минимум знаменателя равен 9, что дает максимум дроби 18/9=2. Дробь ограничена сверху числом 2 и снизу числом 0 (не достигается).

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 21 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 21?

Краткий ответ: а) неверно; б) верно; в) неверно.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 1. Рациональные дроби и их свойства.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.