ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 190: Произведение и частное дробей

Для решения уравнений графическим методом необходимо построить графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения, и найти точки их пересечения. Абсциссы (координата x) этих точек будут являться корнями уравнения.

а) Уравнение 8/x=x²

1. Построим график функции y₁=8/x. Это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях.
2. Построим график функции y₂=x². Это парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в начале координат (0;0).
3. Найдем точки пересечения. Так как y₂=x²>0 при всех x≠0, а y₁=8/x принимает отрицательные значения только при x<0, то пересечение возможно только в первой четверти (x>0).
4. Подставим целые значения x: при x=1, y₁=8,y₂=1; при x=2, y₁=4,y₂=4. Значения совпали.
5. Следовательно, точка пересечения имеет координаты (2;4). Корень уравнения: x=2.

б) Уравнение 8/x=x³

1. Левая часть — та же гипербола y₁=8/x.
2. Правая часть — кубическая парабола y₂=x³. Она проходит через начало координат и расположена в I и III четвертях.
3. Рассмотрим область x>0. При малых x гипербола выше параболы, но так как степень x³ растет быстрее, чем убывает 1/x, они должны пересечься. Проверим точку x=2: y₁=8/2=4, y₂=2³=8. Здесь y₂>y₁. Проверим точку между 1 и 2? Нет, давайте решим алгебраически для проверки точности графика: x⁴=8→x=root4nof8. Но обычно в таких задачах требуются целые или простые рациональные корни. Перечитаем условие внимательно. Ага, если мы строим точно, то пересечение будет не в целой точке. Однако, часто в школьных задачах подразумевается поиск очевидных решений или приближенных. Давайте проверим x=1: 8/1=8,1³=1. x=2: 8/2=4,2³=8. Функции меняются местами. Точка пересечения лежит где-то между 1 и 2.
   Но подождите, есть ли другие варианты? Может быть опечатка в условии или я должен искать другое решение? Если бы было 8/x=x, то x²=8. Если 8/x=2x, то x²=4,x=2.
   Давайте посмотрим на структуру задачи №190 из типичных учебников (например, Макарычев). Часто там бывают уравнения вида k/x=xⁿ.
   Если мы строго следуем графическому методу, мы находим абсциссу пересечения. Для б) корней два: один положительный, один отрицательный (так как обе функции нечетные/симметричны относительно начала координат в соответствующих четвертях).
   Однако, давайте проверим, нет ли ошибки в интерпретации. Возможно, нужно решить 8/x=x? Нет, написано x³.
   Решение x⁴=8 дает x=root4nof8not→ это не «красивое» число для графического метода в 8 классе без калькулятора.
   Перепроверю пункт а): 8/x=x²→x³=8→x=2. Все верно.
   Пункт б): 8/x=x³→x⁴=8. Корни x=root4nof8 и x=-root4nof8.
   В рамках школьной программы по теме «Произведение и частное дробей» и «Графический метод», иногда допускается ответ в виде приближенного значения или указания на то, что корень irrational. Но чаще всего в таких сборниках номера подобраны так, чтобы корни были целыми. Не исключено, что в оригинале учебника было 8/x=2x или 8/x=x. Но я обязан решать по данному условию.
   Если предположить, что требуется просто описать процесс: строим графики, видим две точки пересечения. Их координаты можно оценить. x=1.7 и x=-1.7.
   Но давайте еще раз посмотрим на возможность опечатки в *моем* восприятии условия. Нет, условие дано четко.
   Тогда ответ для б) будет содержать иррациональные числа. Запишем их точно.