ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 198: Произведение и частное дробей
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Дмитрий Орлов, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение дроби не зависит от значений этих переменных
а) 5(x-y)^2/(3y-3x)^2
б) (3x-6y)^2/4(2y-x)2.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Чтобы доказать, что значение дроби не зависит от переменных x и y, необходимо упростить выражение. Для этого нужно представить числитель и знаменатель в виде произведений, выделить общие множители и сократить дробь. Если после сокращения все переменные исчезнут, а останется только число, то утверждение доказано.
Вычисление:
а) Рассмотрим дробь 5(x-y)2/(3y-3x)2.
Преобразуем знаменатель. Вынесем общий множитель 3 за скобки внутри степени: (3y-3x)2=(3(y-x))2. По свойству возведения в степень произведения получаем 32·(y-x)2=9(y-x)2.
Заметим, что разность квадратов не зависит от порядка вычитания, так как (y-x)2=(-(x-y))2=(-1)2·(x-y)2=(x-y)2.
Подставим преобразованный знаменатель в исходную дробь:
5(x-y)2/9(x-y)2Сокращаем на общий множитель (x-y)2 (при условии x≠y):
5/9Результат — постоянное число, переменные сократились.
б) Рассмотрим дробь (3x-6y)2/4(2y-x)2.
Преобразуем числитель. Вынесем общий множитель 3 за скобки: (3x-6y)2=(3(x-2y))2=32·(x-2y)2=9(x-2y)2.
В знаменателе имеем выражение (2y-x)2. Заметим, что 2y-x=-(x-2y), поэтому (2y-x)2=(-(x-2y))2=(x-2y)2.
Подставим преобразованные части в дробь:
9(x-2y)2/4(x-2y)2Сокращаем на общий множитель (x-2y)2 (при условии x≠2y):
9/4Результат — постоянное число, переменные сократились.
Проверка и вывод:
В пункте а) мы получили константу 5/9, которая не содержит переменных x и y. В пункте б) мы получили константу 9/4, также не содержащую переменных. Следовательно, при всех допустимых значениях переменных (где знаменатель не равен нулю) значение данных дробей действительно не зависит от конкретных значений x и y. Доказательство завершено.
а) 5/9
б) 9/4
Использованы свойства степеней и тождество (a-b)^2 = (b-a)^2 для приведения подобных множителей в числителе и знаменателе.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 198 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 198?
Краткий ответ: а) 59; б) 94.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Произведение и частное дробей.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.