8 класс Произведение и частное дробей § 3. Произведение и частное дробей

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 199: Произведение и частное дробей

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Илья Морозов, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 198 200 →

Условие

Задача-исследование. При каких значениях a и b является тождеством равенство (5x+31)/((x-5)(x+2)) = a/(x-5) + b/(x+2)?

а) Обсудите, какие преобразования надо выполнить и каким условием воспользоваться, чтобы ответить на вопрос задачи.

б) Выполните необходимые преобразования, составьте систему уравнений и решите её.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения.

Чтобы равенство было тождеством, правая часть должна быть преобразована к виду левой части. Для этого нужно привести дроби a/x-5 и b/x+2 к общему знаменателю (x-5)(x+2), сложить числители и приравнять полученное выражение в числителе к числителю левой части 5x+31. Это позволит составить систему уравнений относительно коэффициентов a и b.

Выполнение преобразований.

Приведем правую часть к общему знаменателю:

a/x-5+b/x+2=a(x+2)+b(x-5)/(x-5)(x+2)

Раскроем скобки в числителе и сгруппируем слагаемые по степеням x:

a(x+2)+b(x-5)=ax+2a+bx-5b=(a+b)x+(2a-5b)

Теперь сравним этот результат с числителем левой части исходного равенства (5x+31). Чтобы дроби были равны при всех допустимых значениях x, их числители должны совпадать:

(a+b)x+(2a-5b)=5x+31

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

Коэффициент при x: a+b=5
Свободный член: 2a-5b=31

Решим полученную систему уравнений. Из первого уравнения выразим a:

a=5-b

Подставим это выражение во второе уравнение:

2(5-b)-5b=31 10-2b-5b=31 10-7b=31 -7b=21 b=-3

Найдем значение a:

a=5-(-3)=5+3=8

Проверка.

Подставим найденные значения a=8 и b=-3 в правую часть исходного равенства:

8/x-5+-3/x+2=8(x+2)-3(x-5)/(x-5)(x+2) =8x+16-3x+15/(x-5)(x+2)=5x+31/(x-5)(x+2)

Полученное выражение точно совпадает с левой частью. Следовательно, равенство является тождеством при a=8 и b=-3.

Ответ

a=8, b=-3

Задача на метод неопределенных коэффициентов. Ключевой момент — приведение к общему знаменателю и группировка слагаемых вида Ax+B. Система решается подстановкой или алгебраическим сложением.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 199 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 199?

Краткий ответ: a=8, b=-3.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Произведение и частное дробей.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.