8 класс Дробные рациональные уравнения § 9. Дробные рациональные уравнения

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 203: Дробные рациональные уравнения

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Никита Ершов, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 202 204 →

Условие

Представить дробь (4x+3)/(x²-1) в виде суммы двух дробей со знаменателями x-1 и x+1.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Чтобы представить дробь 4x+3/x²-1 в виде суммы двух дробей со знаменателями x-1 и x+1, сначала разложим исходный знаменатель на множители. Заметим, что x²-1=(x-1)(x+1). Далее запишем искомую сумму в виде A/x-1+B/x+1, где A и B — неизвестные числа или выражения. Приведём эту сумму к общему знаменателю и приравняем числитель полученной дроби к числителю исходной дроби.

Вычисление:

Запишем равенство:

4x+3/(x-1)(x+1)=A/x-1+B/x+1

Приведём правую часть к общему знаменателю (x-1)(x+1):

A(x+1)+B(x-1)/(x-1)(x+1)=4x+3/(x-1)(x+1)

Так как знаменатели равны, то должны быть равны и числители:

A(x+1)+B(x-1)=4x+3

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые по степеням x:

Ax+A+Bx-B=4x+3 (A+B)x+(A-B)=4x+3

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа:

При x: A+B=4
Свободный член: A-B=3

Решим полученную систему уравнений. Сложим первое и второе уравнения:

(A+B)+(A-B)=4+3 2A=7impliesA=3.5

Подставим значение A в первое уравнение:

3.5+B=4impliesB=0.5

Таким образом, мы нашли значения A и B. Подставим их обратно в представление суммы дробей:

4x+3/x²-1=3.5/x-1+0.5/x+1

Для красоты можно вынести общий множитель 0.5 или записать десятичные дроби как обыкновенные (3.5=7/2,0.5=1/2):

4x+3/x²-1=7/2/x-1+1/2/x+1=7/2(x-1)+1/2(x+1)

Проверка:

Сложим полученные дроби, чтобы убедиться, что результат совпадает с исходным выражением:

7/2(x-1)+1/2(x+1)=7(x+1)+1(x-1)/2(x-1)(x+1) =7x+7+x-1/2(x²-1)=8x+6/2(x²-1)

Сократим числитель и знаменатель на 2:

2(4x+3)/2(x²-1)=4x+3/x²-1

Результат совпал с условием задачи. Решение верно.

Ответ

3.5/x-1$}$ + 0.5/x+1$}$

Использован метод неопределённых коэффициентов. Знаменатель x²-1 разложен на (x-1)(x+1). Система линейных уравнений для коэффициентов решена корректно.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 203 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 203?

Краткий ответ: 3.5x-1 + 0.5x+1.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 9. Дробные рациональные уравнения.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.