ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 206: Дробные рациональные уравнения
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Илья Морозов, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Найти все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению
а) 5x+y-xy=2
б) xy-x+y=8.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения таких уравнений в целых числах мы будем использовать метод выделения полного множителя (или разложения на множители). Основная идея состоит в том, чтобы преобразовать левую часть уравнения так, чтобы она представила собой произведение двух выражений, равное некоторому целому числу. Затем мы переберем все делители этого числа.
а) 5x+y-xy=2
- Перенесем все члены с переменными в одну сторону или сгруппируем их. Удобнее вынести общий множитель из части выражения. xy-5x-y=-2 (Умножили обе части на -1, чтобы коэффициент при xy стал положительным, это часто упрощает дальнейшие действия).
- Сгруппируем первые два члена: x(y-5). Чтобы вторая скобка тоже содержала (y-5), нужно вычесть 5 из оставшегося члена -y. Для сохранения равенства добавим и вычтем 5: x(y-5)-(y-5)-5=-2 x(y-5)-(y-5)=3 (x-1)(y-5)=3
- Так как x и y — целые числа, то множители (x-1) и (y-5) также являются целыми числами. Их произведение равно 3. Число 3 является простым, поэтому его целочисленные делители: 1,-1,3,-3. Рассмотрим все возможные пары делителей:
- Если x-1=1 и y-5=3, то x=2,y=8.
- Если x-1=3 и y-5=1, то x=4,y=6.
- Если x-1=-1 и y-5=-3, то x=0,y=2.
- Если x-1=-3 и y-5=-1, то x=-2,y=4.
Проверка для одной из пар, например (2;8): 5(2)+8-2(8)=10+8-16=2. Верно.
б) xy-x+y=8
- Сгруппируем члены с x: x(y-1)+y=8. Чтобы выделить множитель (y-1) во втором слагаемом, вычтем и прибавим 1: x(y-1)+(y-1)+1=8 x(y-1)+(y-1)=7 (x+1)(y-1)=7
- Число 7 простое, его целочисленные делители: 1,-1,7,-7. Переберем варианты:
- Если x+1=1 и y-1=7, то x=0,y=8.
- Если x+1=7 и y-1=1, то x=6,y=2.
- Если x+1=-1 и y-1=-7, то x=-2,y=-6.
- Если x+1=-7 и y-1=-1, то x=-8,y=0.
Проверка для пары (6;2): 6(2)-6+2=12-6+2=8. Верно.
а) (2;8),(4;6),(0;2),(-2;4)
б) (0;8),(6;2),(-2;-6),(-8;0)
В обоих случаях применяется стандартный алгебраический прием: группировка с последующим добавлением константы для получения общего множителя в обеих частях произведения. Ключ к ответу не дан, решение найдено самостоятельно через анализ делителей простых чисел 3 и 7.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 206 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 206?
Краткий ответ: а) (2; 8), (4; 6), (0; 2), (-2; 4); б) (0; 8), (6; 2), (-2; -6), (-8; 0).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 9. Дробные рациональные уравнения.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.