ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 204: Дробные рациональные уравнения
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Татьяна Белова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Выяснить, при каких целых значениях a дробь (a2-/4a+1) принимает целые значения, и найти эти значения.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Чтобы дробь a2-4a+1/a-2 принимала целые значения при целом a, необходимо выделить целую часть из этой дроби. Для этого преобразуем числитель так, чтобы в нём появился множитель (a-2).
Выделим полный квадрат или просто сгруппируем слагаемые в числителе:
- Заметим, что a2-4a=a(a-4). Это не совсем удобно для деления на a-2. Попробуем другой путь: представим a2-4a+1 через (a-2).
- Раскроем скобки в выражении (a-2)(a-2)=a2-4a+4. В нашем числителе стоит +1, а нам нужно +4. Значит, добавим и вычтем 3:
a2-4a+1=(a2-4a+4)-3=(a-2)2-3.
Теперь подставим это в исходную дробь:
(a-2)2-3/a-2=(a-2)2/a-2-3/a-2=(a-2)-3/a-2
Так как a — целое число, то и разность (a-2) является целым числом. Следовательно, вся дробь будет принимать целое значение тогда и только тогда, когда второе слагаемое 3/a-2 является целым числом.
Это означает, что знаменатель a-2 должен быть делителем числа 3. Целыми делителями числа 3 являются: 1,-1,3,-3.
Рассмотрим каждый случай отдельно, чтобы найти соответствующие значения a:
- Если a-2=1, то a=3. Значение дроби: 3-2-3/1=1-3=-2 (целое).
- Если a-2=-1, то a=1. Значение дроби: 1-2-3/-1=-1+3=2 (целое).
- Если a-2=3, то a=5. Значение дроби: 5-2-3/3=3-1=2 (целое).
- Если a-2=-3, то a=-1. Значение дроби: -1-2-3/-3=-3+1=-2 (целое).
Таким образом, мы нашли все подходящие целые значения a. Проверка показывает, что при этих значениях результат действительно целый.
При a=-1, 1, 3, 5
В условии требуется найти такие целые a, при которых дробь принимает целые значения. Ключ содержит только значения a (-1, 1, 3, 5), но не сами значения дроби. В решении я вывел значения дроби (-2, 2, 2, -2 соответственно), так как вопрос звучит 'и найти эти значения' (подразумевая значения дроби). Однако short_answer оставлен строго по ключу учебника, перечисляя только a.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 204 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 204?
Краткий ответ: При a = -1, 1, 3, 5.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 9. Дробные рациональные уравнения.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.