8 класс Дробные рациональные уравнения § 9. Дробные рациональные уравнения

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 207: Дробные рациональные уравнения

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Мария Волкова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 206 208 →

Условие

Найти все точки графика функции y = (x²-/6x+1), у которых координаты являются целыми числами.

График

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Чтобы найти точки с целыми координатами на графике функции y=x²-6x+1/x-3, сначала упростим выражение. Выделим целую часть дроби, для чего представим числитель в виде произведения делителя и некоторого многочлена плюс остаток.

Заметим, что (x-3)²=x²-6x+9. Тогда числитель можно переписать как x²-6x+1=(x²-6x+9)-8=(x-3)²-8.

Подставим это в исходное выражение:

y=(x-3)²-8/x-3=(x-3)²/x-3-8/x-3=x-3-8/x-3

Область определения функции: x≠3, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Для того чтобы y было целым числом при целом x, дробь 8/x-3 должна быть целым числом. Это возможно только тогда, когда знаменатель x-3 является делителем числителя 8.

Найдем все целые делители числа 8: ±1,±2,±4,±8.

Рассмотрим каждый случай отдельно, чтобы найти соответствующие значения x и y:

Если x-3=1, то x=4. Тогда y=4-3-8/1=1-8=-7. Точка: (4;-7).
Если x-3=-1, то x=2. Тогда y=2-3-8/-1=-1+8=7. Точка: (2;7).
Если x-3=2, то x=5. Тогда y=5-3-8/2=2-4=-2. Точка: (5;-2).
Если x-3=-2, то x=1. Тогда y=1-3-8/-2=-2+4=2. Точка: (1;2).
Если x-3=4, то x=7. Тогда y=7-3-8/4=4-2=2. Точка: (7;2).
Если x-3=-4, то x=-1. Тогда y=-1-3-8/-4=-4+2=-2. Точка: (-1;-2).
Если x-3=8, то x=11. Тогда y=11-3-8/8=8-1=7. Точка: (11;7).
Если x-3=-8, то x=-5. Тогда y=-5-3-8/-8=-8+1=-7. Точка: (-5;-7).

Проверим полученные результаты. Все найденные значения x отличны от 3, значит, они входят в область определения. Координаты всех точек являются целыми числами.

Ответ

(4; -7), (2; 7), (5; -2), (1; 2), (7; 2), (-1; -2), (11; 7), (-5; -7)

Задача сводится к выделению целой части рациональной дроби и анализу делителей свободного члена. Важно не забыть отрицательные делители.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 207 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 207?

Краткий ответ: (4; -7), (2; 7), (5; -2), (1; 2), (7; 2), (-1; -2), (11; 7), (-5; -7).

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 9. Дробные рациональные уравнения.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.