8 класс Дробные рациональные уравнения § 9. Дробные рациональные уравнения

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 209: Дробные рациональные уравнения

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Павел Лебедев, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 208 210 →

Условие

Найти все пары натуральных чисел a и b, если известно, что сумма обратных им чисел равна 1/7.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения.

Составим уравнение по условию задачи: сумма обратных чисел равна 1/7. То есть 1/a+1/b=1/7, где a и b — натуральные числа. Нам нужно найти все пары (a;b), удовлетворяющие этому равенству. Для этого выразим одну переменную через другую или преобразуем уравнение к виду, удобному для разложения на множители.

Вычисление.

Приведем левую часть к общему знаменателю:

a+b/ab=1/7

Умножим обе части на 7ab (так как a,b≠0):

7(a+b)=ab 7a+7b=ab

Перенесем все слагаемые в правую часть:

ab-7a-7b=0

Чтобы разложить это выражение на множители, добавим к обеим частям 49 (произведение коэффициентов при a и b со знаком минус, то есть (-7)·(-7)):

ab-7a-7b+49=49

Сгруппируем слагаемые слева:

a(b-7)-7(b-7)=49 (a-7)(b-7)=49

Так как a и b — натуральные числа, то a-7 и b-7 — целые числа. Произведение двух целых чисел равно 49. Переберем все возможные пары делителей числа 49. Делители числа 49: 1,7,49 (а также отрицательные -1,-7,-49, но так как a,b>0, проверим ограничения).

Заметим, что если a-7<0, то a<7. Если a=1, то 1/1+1/b=1+1/b>1, что не может быть равно 1/7. Аналогично для a=2,3,4,5,6. Значит, a-7 должно быть положительным делителем. То же самое верно для b-7.

Возможные варианты разложения 49 на два положительных множителя:

a-7=1 и b-7=49. Тогда a=8, b=56.
a-7=7 и b-7=7. Тогда a=14, b=14.
a-7=49 и b-7=1. Тогда a=56, b=8.

Проверка.

Подставим найденные пары в исходное уравнение 1/a+1/b=1/7.

1) Для a=8,b=56: 1/8+1/56=7/56+1/56=8/56=1/7 Верно.

2) Для a=14,b=14: 1/14+1/14=2/14=1/7 Верно.

3) Для a=56,b=8: 1/56+1/8=1/56+7/56=8/56=1/7 Верно.

Ответ

a=8, b=56; a=14, b=14; a=56, b=8

Использован метод выделения полного квадрата/разложения на множители путем добавления константы. Проверено, что отрицательные делители не дают натуральных решений.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 209 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 209?

Краткий ответ: a=8, b=56; a=14, b=14; a=56, b=8.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 9. Дробные рациональные уравнения.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.