8 класс Дробные рациональные уравнения § 9. Дробные рациональные уравнения

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 205: Дробные рациональные уравнения

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Никита Ершов, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 204 206 →

Условие

Зная, что m — целое число, найти целые значения дроби

а) (m²-/6m+10)

б) (m - 4)^2/(m-2).

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Чтобы дробь принимала целые значения при целом m, необходимо представить её в виде суммы целого выражения и правильной дроби. Для этого выделим целую часть числителя делением на знаменатель.

а) Дробь m²-6m+10/m-3

Преобразуем числитель так, чтобы выделить множитель (m-3): m²-6m+10=m(m-3)-3m+10=m(m-3)-3(m-3)+9+1=(m-3)(m-3)+1 Или проще: разделим уголком или сгруппируем: m²-6m+9+1/m-3=(m-3)²+1/m-3=(m-3)²/m-3+1/m-3=(m-3)+1/m-3
Так как m — целое число, то и m-3 — целое число. Значит, выражение m-3 всегда целое. Для того чтобы вся дробь была целым числом, дробь 1/m-3 должна быть целой.
Дробь 1/k является целой только тогда, когда k является делителем числа 1. Значит, m-3 может быть равно 1 или -1.
Найдем соответствующие значения m и самой дроби:
- Если m-3=1, то m=4. Значение дроби: (4-3)+1/1=1+1=2.
- Если m-3=-1, то m=2. Значение дроби: (2-3)+1/-1=-1-1=-2.

б) Дробь (m-4)²/m-2

Раскроем скобки в числителе и преобразуем его для выделения целой части относительно знаменателя m-2: (m-4)²=m²-8m+16 Выразим через m-2. Пусть t=m-2, тогда m=t+2. Подставим в числитель: (t+2-4)²=(t-2)²=t²-4t+4 Теперь запишем дробь через t: t²-4t+4/t=t(t-4)/t+4/t=t-4+4/t Вернемся к переменной m: t=m-2, значит: (m-4)²/m-2=(m-2)-4+4/m-2=m-6+4/m-2
Выражение m-6 целое при любом целом m. Значит, дробь будет целой, если 4/m-2 — целое число.
Это возможно, если m-2 является делителем числа 4. Делители числа 4: 1,-1,2,-2,4,-4.
Рассмотрим каждый случай и найдем значение исходной дроби:
- m-2=1⇒m=3. Значение: 3-6+4/1=-3+4=1.
- m-2=-1⇒m=1. Значение: 1-6+4/-1=-5-4=-9.
- m-2=2⇒m=4. Значение: 4-6+4/2=-2+2=0.
- m-2=-2⇒m=0. Значение: 0-6+4/-2=-6-2=-8.
- m-2=4⇒m=6. Значение: 6-6+4/4=0+1=1 (повтор).
- m-2=-4⇒m=-2. Значение: -2-6+4/-4=-8-1=-9 (повтор).
Уникальные целые значения дроби: 1,-9,0,-8.

Ответ: а) -2;2; б) -9;-8;0;1.

Ответ

а) -2; 2

б) -9; -8; 0; 1

В пункте а) ключ совпадает с расчетом. В пункте б) ключ содержит значения -9, -8, 0, 1. Мой расчет дает те же самые уникальные значения. Важно отметить, что разные значения m могут давать одинаковые значения дроби (например, m=3 и m=6 дают значение 1), но в ответе перечисляются именно значения дроби.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 205 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 205?

Краткий ответ: а) -2; 2; б) -9; -8; 0; 1.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 9. Дробные рациональные уравнения.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.