ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 232: дроби
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Артём Савельев, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Упростить выражение
а) (mn+1)/(m+n) + (mn-1)/(m-n)
б) (x+4a)/(3a+3x) - (a-4x)/(3a-3x).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Для упрощения рациональных дробей необходимо привести их к общему знаменателю. В пункте а) знаменатели (m+n) и (m-n) уже являются простыми множителями, поэтому общий знаменатель будет равен их произведению m2-n2. В пункте б) сначала нужно разложить знаменатели на множители, вынеся общие коэффициенты за скобки, чтобы найти наименьший общий знаменатель.
Решение пункта а):
Исходное выражение: mn+1/m+n+mn-1/m-n Приводим дроби к общему знаменателю (m+n)(m-n)=m2-n2: (mn+1)(m-n)/(m+n)(m-n)+(mn-1)(m+n)/(m+n)(m-n) Раскрываем скобки в числителях: Первая часть: (mn+1)(m-n)=m2n-mn2+m-n Вторая часть: (mn-1)(m+n)=m2n+mn2-m-n Складываем числители: (m2n-mn2+m-n)+(m2n+mn2-m-n)=2m2n-2n Выносим общий множитель 2n за скобки в числителе: 2n(m2-1)/m2-n2 Дальнейшее сокращение невозможно, так как m2-1 не имеет общих множителей со знаменателем при произвольных m,n.
Решение пункта б):
Исходное выражение: x+4a/3a+3x-a-4x/3a-3x Разложим знаменатели на множители: 3a+3x=3(a+x) 3a-3x=3(a-x) Общий знаменатель: 3(a+x)(a-x)=3(a2-x2). Дополнительные множители для первой дроби: (a-x), для второй дроби: (a+x). Запишем с общим знаменателем: (x+4a)(a-x)/3(a+x)(a-x)-(a-4x)(a+x)/3(a+x)(a-x) Раскрываем скобки в числителях: Первая часть: (x+4a)(a-x)=ax-x2+4a2-4ax=4a2-3ax-x2 Вторая часть: (a-4x)(a+x)=a2+ax-4ax-4x2=a2-3ax-4x2 Вычитаем вторую часть из первой: (4a2-3ax-x2)-(a2-3ax-4x2)=4a2-3ax-x2-a2+3ax+4x2 Приводим подобные слагаемые: 4a2-a2=3a2 -3ax+3ax=0 -x2+4x2=3x2 Числитель равен: 3a2+3x2=3(a2+x2). Подставляем в дробь: 3(a2+x2)/3(a2-x2) Сокращаем на 3: a2+x2/a2-x2
Проверка:
В пункте а) мы корректно использовали формулу разности квадратов для общего знаменателя и аккуратно раскрыли скобки, заметив взаимное уничтожение членов mn2, m и n. В пункте б) важно было не забыть минус перед второй дробью при раскрытии скобок, что привело к изменению знаков всех членов второго числителя. Сокращение на константу 3 в конце верно. Ответы выглядят упрощенными до конца.
а) 2n(m2-1)/m2-n2
б) a2+x2/a2-x2
В задаче а) ключевым моментом является внимательное раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых, где многие члены сокращаются. В задаче б) важно правильно определить дополнительные множители после разложения знаменателей и учесть знак минуса при вычитании дробей.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 232 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 232?
Краткий ответ: а) 2n(m^2-1)m^2-n^2; б) a^2+x^2a^2-x^2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Глава I. Рациональные дроби.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.