ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 233: дроби

Для упрощения рациональных дробей сначала разложим знаменатели на множители. В пункте а) заметим, что y²-y+1/4=(y-1/2)², y²+y+1/4=(y+1/2)² и y²-1/4=(y-1/2)(y+1/2). Также вынесем общие множители в числителях: 2y²-y=y(2y-1) и 2y²+y=y(2y+1). Обратим внимание, что y-1/2=2y-1/2, поэтому (y-1/2)²=(2y-1)²/4. Аналогично для второго слагаемого.

Подставим преобразованные выражения в исходную формулу:

1. Первое слагаемое: y(2y-1)/(2y-1)²/4=4y(2y-1)/(2y-1)²=4y/2y-1.
2. Второе слагаемое: y(2y+1)/(2y+1)²/4=4y(2y+1)/(2y+1)²=4y/2y+1.
3. Третье слагаемое: 1/(y-1/2)(y+1/2)=1/2y-1/2·2y+1/2=4/(2y-1)(2y+1).

Теперь выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю (2y-1)(2y+1):

Рассмотрим пункт б). Разложим знаменатель первой дроби: 2,5a²-0,64=(2,5a)²-0,8². Удобнее умножить числитель и знаменатель на 10 или привести к целым коэффициентам. Заметим, что 2,5a²-0,64=25a²-6,4/10 — это не очень удобно. Лучше использовать формулу разности квадратов напрямую с десятичными дробями или умножить всё на общий множитель.
Знаменатель 2,5a²-0,64 можно представить как 0,1(25a²-6,4)? Нет. Давайте умножим числитель и знаменатель первой дроби на 10, чтобы избавиться от запятых в знаменателе частично, или лучше сразу разложить:
2,5a²-0,64=(2,5a-0,8)(2,5a+0,8). Это сложно.
Попробуем другой путь: умножим первую дробь на 4/4? Нет.
Давайте просто приведем к общему знаменателю, предварительно упростив вторую дробь. 6a-3,2=2(3a-1,6).
Первая дробь: 6a/2,5a²-0,64. Умножим числитель и знаменатель на 4: 24a/10a²-2,56. Не помогает.
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 10: 60a/25a²-6,4. Тоже не идеально.
Вернемся к ключу. Ключ говорит 20/15a+8. Проверим обратным ходом.
Разложим 2,5a²-0,64. Это 5/2a²-16/25=125a²-32/50. Слишком громоздко.
Давайте умножим числитель и знаменатель первой дроби на 4: 24a/10a²-2,56.
Давайте умножим числитель и знаменатель первой дроби на 10/2.5 = 4? Нет.
Попробуем так: 2,5a²-0,64=(1,58...a-0,8)...
Лучший способ: умножить числитель и знаменатель первой дроби на 4, чтобы получить целые числа в знаменателе? 2,5·4=10, 0,64·4=2,56. Нет.
Умножим на 100: 600a/250a²-64. Сократим на 2: 300a/125a²-32.
Вторая дробь: 8/6a-3,2=80/60a-32=20/15a-8.
Итак, имеем: 300a/125a²-32-20/15a-8.
Знаменатель 125a²-32 не раскладывается красиво через 15a-8. Возможно, я ошибся в интерпретации условия или ключе.
Проверим условие еще раз: 6a/(2,5a²-0,64)-8/(6a-3,2).
Если ответ 20/15a+8, то давайте проверим при a=1.
Исходное: 6/2,5-0,64-8/6-3,2=6/1,86-8/2,8≈3,22-2,85=0,37.
Ответ: 20/15+8=20/23≈0,87. Не совпадает.
Значит, либо опечатка в условии, либо в ключе, либо я неправильно вижу структуру.
Попробуем разложить 2,5a²-0,64 иначе. Может быть, там должно быть 2,5a²-0,4? Или 1,5a²?
Предположим, что в условии ошибка и нужно решить строго по тексту, но если результат не сходится с ключом, мы пишем свой.
Однако, часто в таких задачах знаменатель первой дроби является произведением знаменателя второй дроби и чего-то еще.
6a-3,2=2(3a-1,6).
2,5a²-0,64. Если бы было 2,5a²-0,4a? Нет.
Давайте посмотрим на ключ 20/15a+8. Знаменатель 15a+8. Откуда он взялся?
Если вторая дробь была бы 8/3,2-6a, то знак изменился бы.
Попробуем найти ошибку в моих вычислениях пункта б).
8/6a-3,2=8/2(3a-1,6)=4/3a-1,6.
Умножим числитель и знаменатель на 5: 20/15a-8.
Тогда выражение: 6a/2,5a²-0,64-20/15a-8.
Чтобы получить ответ 20/15a+8, первая дробь должна быть равна 20/15a-8+20/15a+8=20(15a+8+15a-8/225a²-64)=600a/225a²-64.
Сравним с нашей первой дробью: 6a/2,5a²-0,64.
Умножим числитель и знаменатель нашей первой дроби на 100: 600a/250a²-64.
Мы получили 250a² вместо 225a².
Это значит, что в условии учебника, скорее всего, опечатка: коэффициент при a² должен быть 2,25, а не 2,5. Или свободный член другой.
Но правило гласит: «считай строго по нему... если числа в условии дают другой результат, пиши свой».
Поэтому решаем строго по условию 2,5a²-0,64.

Решение пункта б) по условию:

Приведем дроби к удобному виду. Вторая дробь: 8/6a-3,2=80/60a-32=20/15a-8.

Первая дробь: 6a/2,5a²-0,64. Умножим числитель и знаменатель на 4, чтобы убрать десятичные знаки в знаменателе частично? 2,5·4=10, 0,64·4=2,56. Не целые.
Умножим на 100: 600a/250a²-64. Сократим на 2: 300a/125a²-32.

Общий знаменатель для 300a/125a²-32 и 20/15a-8 будет их произведение, так как 125a²-32 не делится на 15a-8 (корни разные: ±32/125 против 8/15).

Вычисление:

Вынесем 80 за скобки: 80(25a²-30a+8).

Дискриминант квадратного трехчлена 25a²-30a+8: D=900-4·25·8=900-800=100. Корни: a_1,2=30±10/50. a₁=0,8=4/5, a₂=0,4=2/5.

Разложение: 25(a-0,8)(a-0,4)=25·5a-4/5·5a-2/5=(5a-4)(5a-2).

Таким образом, числитель равен 80(5a-4)(5a-2).

Знаменатель: 125a²-32=(125a-32)(...). Это не сокращается с 15a-8 (3(5a)-8).

Итоговый ответ для б): 80(5a-4)(5a-2)/(125a²-32)(15a-8).

Однако, учитывая высокую вероятность того, что в задаче подразумевалась красивая свертываемость (как в пункте а), и наличие ключа 20/15a+8, который получается при условии 2,25a², я обязан следовать правилу «пиши свой результат», если данные дают другой. Но также правило говорит «ключ... ориентир». Часто OCR путает цифры. 2,5 и 2,25 визуально похожи? Не очень. А вот 2,5a² может быть опечаткой в самой книге, где должно быть 2,25a².
Если я решу строго по тексту, ответ будет громоздким. Если предположить опечатку в условии (что запрещено делать без указания), я получу ключ.
Правило: «не выдумывай скрытые данные... считай строго по нему».
Я напишу решение строго по условию, но добавлю примечание, что при стандартных школьных задачах такого типа обычно ожидается сокращение, которое здесь не происходит из-за несоответствия коэффициентов.

Финальная запись ответа б) по строгому расчету:

Ответ: 80(5a-4)(5a-2)/(125a²-32)(15a-8).