ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 236: дроби

План решения:

Чтобы доказать тождественное равенство, нужно выполнить вычитание двух данных дробей и упростить полученное выражение. Для этого приведём дроби к общему знаменателю, выполним действия с числителями, раскроем скобки, приведём подобные слагаемые и сократим результат.

Вычисление:

Запишем разность дробей: ax+by/(a-b)(x+y)-bx-ay/(a+b)(x+y)

Найдём общий знаменатель. Он равен произведению (a-b)(a+b)(x+y). Заметим, что (a-b)(a+b)=a²-b².

Приведём дроби к общему знаменателю, домножив первую дробь на (a+b), а вторую — на (a-b): (ax+by)(a+b)-(bx-ay)(a-b)/(a-b)(a+b)(x+y)

Раскроем скобки в числителе. Сначала перемножим выражения: 1) (ax+by)(a+b)=a^2x+abx+aby+b^2y 2) (bx-ay)(a-b)=abx-b^2x-a^2y+aby Теперь вычтем второе выражение из первого (помня о смене знаков при вычитании): (a^2x+abx+aby+b^2y)-(abx-b^2x-a^2y+aby) =a^2x+abx+aby+b^2y-abx+b^2x+a^2y-aby

Сгруппируем и приведём подобные слагаемые в числителе: - Слагаемые abx и -abx взаимно уничтожаются. - Слагаемые aby и -aby взаимно уничтожаются. - Остаются: a^2x+b^2y+b^2x+a^2y. Сгруппируем оставшиеся слагаемые по переменным x и y: x(a²+b²)+y(a²+b²)=(a²+b²)(x+y)

Подставим упрощённый числитель обратно в дробь: (a²+b²)(x+y)/(a²-b²)(x+y)

Сократим общую множитель (x+y) (при условии x+y≠0): a²+b²/a²-b²

Проверка:

Мы получили выражение, идентичное правому краю исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.