ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 237: система окружность и прямая

Рассмотрим задачу на упрощение рациональных выражений. В обоих пунктах мы имеем дело с суммами дробей, знаменатели которых имеют схожую структуру. Для решения будем приводить дроби к общему знаменателю и раскладывать числитель на множители.

Пункт а)

Дано выражение: 1/a(a-b)(a-c)+1/b(b-c)(b-a)+1/c(c-a)(c-b)

Заметим, что b-a=-(a-b), c-a=-(a-c) и c-b=-(b-c). Чтобы привести все дроби к одному общему знаменателю, удобно использовать произведение abc(a-b)(b-c)(c-a). Однако проще сначала выровнять знаки в знаменателях относительно разностей (a-b),(b-c),(c-a) или просто перемножить все три знаменателя, учитывая их взаимосвязь.

Общий знаменатель можно представить как abc(a-b)(b-c)(c-a). Но давайте действовать аккуратнее, приводя каждую дробь к виду с общим множителем abc и циклическими разностями.

Перепишем знаменатели, используя свойство x-y=-(y-x):

• Первая дробь: 1/a(a-b)(a-c)
• Вторая дробь: 1/b(b-c)(-(a-b))=-1/b(b-c)(a-b)
• Третья дробь: 1/c(-(a-c))(-(b-c))=1/c(a-c)(b-c)

Теперь общий знаменатель для этих трех дробей будет равен abc(a-b)(b-c)(c-a). Заменим (c-a) на -(a-c), чтобы было удобнее. Общий знаменатель D=abc(a-b)(b-c)(a-c).

Приведем каждую дробь к этому знаменателю:

1. Для первой дроби не хватает множителя bc(b-c). Числитель станет bc(b-c).
2. Для второй дроби (с минусом перед ней) не хватает множителя ac(a-c). Числитель станет -ac(a-c).
3. Для третьей дроби не хватает множителя ab(a-b). Числитель станет ab(a-b).

Сумма числителей: N=bc(b-c)-ac(a-c)+ab(a-b)

Раскроем скобки и сгруппируем:

N=b^2c-bc²-a^2c+ac²+a^2b-ab²

Это известное тождество. Его можно разложить на множители методом группировки. Сгруппируем члены так:

N=(a^2b-ab²)+(b^2c-bc²)+(ac²-a^2c)

Вынесем общие множители из каждой группы:

N=ab(a-b)+bc(b-c)+ac(c-a)

Похоже, мы вернулись к исходной форме. Попробуем другой способ разложения. Выразим N через разности. Известно, что выражение a²(b-c)+b²(c-a)+c²(a-b) равно (a-b)(b-c)(c-a). Проверим, совпадает ли наш N с этим выражением.

Наш N=b^2c-bc²-a^2c+ac²+a^2b-ab².

Выражение K=a²(b-c)+b²(c-a)+c²(a-b)=a^2b-a^2c+b^2c-ab²+ac²-bc².

Сравниваем N и K: они идентичны. Следовательно, числитель суммы равен (a-b)(b-c)(c-a).

Но в нашем общем знаменателе мы использовали abc(a-b)(b-c)(a-c). Заметим, что (c-a)=-(a-c). Поэтому числитель N=-(a-b)(b-c)(a-c).

Подставим в итоговую дробь:

-(a-b)(b-c)(a-c)/abc(a-b)(b-c)(a-c)

Сокращаем одинаковые множители (a-b),(b-c),(a-c):

-1/abc

Проверим знаки еще раз внимательно. Исходная вторая дробь была 1/b(b-c)(b-a). Мы заменили b-a на -(a-b), получив -1/b(b-c)(a-b). Третья дробь 1/c(c-a)(c-b). c-a=-(a-c), c-b=-(b-c). Произведение двух минусов дает плюс: 1/c(a-c)(b-c). Общий знаменатель abc(a-b)(b-c)(a-c).
Числитель 1: bc(b-c).
Числитель 2: -ac(a-c).
Числитель 3: ab(a-b).
Сумма: bc(b-c)-ac(a-c)+ab(a-b).
Разложим это выражение на множители. Подставим a=b, сумма равна 0. Значит, есть множитель (a-b). Аналогично (b-c) и (c-a).
Коэффициент при a^2b в сумме: из ab(a-b) берется a^2b. Коэффициент +1.
В произведении (a-b)(b-c)(c-a) коэффициент при a^2b: берем a из первого, -c из второго? Нет. Раскроем (a-b)(b-c)(c-a)=(ab-ac-b²+bc)(c-a)=abc-a^2b-ac²+a^2c-b^2c+ab²+bc²-abc=-a^2b+a^2c-b^2c+ab²+bc²-ac².
Наша сумма N=b^2c-bc²-a^2c+ac²+a^2b-ab².
Сравним N и -(a-b)(b-c)(c-a).
-(a-b)(b-c)(c-a)=a^2b-a^2c+b^2c-ab²-bc²+ac². Это в точности равно N.
Значит, числитель равен -(a-b)(b-c)(c-a)=(a-b)(b-c)(a-c).
Знаменатель abc(a-b)(b-c)(a-c).
Итог: (a-b)(b-c)(a-c)/abc(a-b)(b-c)(a-c)=1/abc.

Ответ: 1/abc.

Пункт б)

Дано выражение: x²/(x-y)(x-z)+y²/(y-x)(y-z)+z²/(z-x)(z-y)

Аналогично предыдущему пункту, приведем к общему знаменателю. Удобный общий знаменатель: (x-y)(y-z)(z-x). Или симметричный вариант (x-y)(x-z)(y-z) с учетом знаков.

Давайте используем знаменатель D=(x-y)(y-z)(z-x).

Преобразуем знаменатели слагаемых:

• Первый: (x-y)(x-z)=(x-y)(-(z-x))=-(x-y)(z-x). Не хватает множителя (y-z).
  Дробь: x²/-(x-y)(z-x)=-x²(y-z)/(x-y)(y-z)(z-x).
• Второй: (y-x)(y-z)=-(x-y)(y-z). Не хватает множителя (z-x).
  Дробь: y²/-(x-y)(y-z)=-y²(z-x)/(x-y)(y-z)(z-x).
• Третий: (z-x)(z-y)=(z-x)(-(y-z))=-(z-x)(y-z). Не хватает множителя (x-y).
  Дробь: z²/-(z-x)(y-z)=-z²(x-y)/(x-y)(y-z)(z-x).

Сумма числителей:

N=-[x²(y-z)+y²(z-x)+z²(x-y)]

Выражение в квадратных скобках S=x²(y-z)+y²(z-x)+z²(x-y) является стандартным алгебраическим тождеством. Оно раскладывается на множители как -(x-y)(y-z)(z-x).

Проверим это. Если x=y, то S=x²(x-z)+x²(z-x)+z²(0)=x³-x^2z+x^2z-x³=0. Значит, (x-y) — множитель. Аналогично (y-z) и (z-x).
Степень выражения S равна 3. Степень произведения (x-y)(y-z)(z-x) также равна 3.
Найдем коэффициент при x^2y. В S он равен +1 (из x^2y).
В произведении P=(x-y)(y-z)(z-x):
(xy-xz-y²+yz)(z-x)=xyz-x^2y-xz²+x^2z-y^2z+xy²+yz²-xyz.
Коэффициент при x^2y здесь -1.
Значит, S=-P=-(x-y)(y-z)(z-x).

Подставим обратно в формулу для N:

N=-[-(x-y)(y-z)(z-x)]=(x-y)(y-z)(z-x)

Теперь запишем итоговую дробь:

N/D=(x-y)(y-z)(z-x)/(x-y)(y-z)(z-x)

Сокращаем все множители:

1

Ответ: 1.