ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 238: дроби

Чтобы представить рациональную дробь в виде суммы или разности целого выражения и правильной дроби, необходимо выполнить деление многочлена числителя на многочлен знаменателя. Целая часть частного будет представлять собой целое выражение, а остаток от деления станет числителем новой дроби со старым знаменателем.

Рассмотрим каждый пункт отдельно, используя метод «уголка» или выделение полного квадрата/произведения.

• а) x²-3x+6/x-3.
  Делим x²-3x+6 на x-3.
  Первое слагаемое частного: x²:x=x. Умножаем (x-3) на x, получаем x²-3x. Вычитаем из исходного многочлена: (x²-3x+6)-(x²-3x)=6.
  Остаток равен 6, степень которого меньше степени делителя.
  Таким образом, частное равно x, остаток 6.
  Запись: x²-3x+6/x-3=x+6/x-3.
• б) y²+5y-8/y+5.
  Делим y²+5y-8 на y+5.
  Первое слагаемое частного: y²:y=y. Умножаем (y+5) на y, получаем y²+5y. Вычитаем: (y²+5y-8)-(y²+5y)=-8.
  Остаток равен -8.
  Запись: y²+5y-8/y+5=y-8/y+5.
• в) a²+7a+2/a+6.
  Делим a²+7a+2 на a+6.
  Первое слагаемое частного: a²:a=a. Умножаем (a+6) на a, получаем a²+6a. Вычитаем: (a²+7a+2)-(a²+6a)=a+2.
  Второе слагаемое частного: a:a=1. Умножаем (a+6) на 1, получаем a+6. Вычитаем: (a+2)-(a+6)=-4.
  Частное равно a+1, остаток -4.
  Запись: a²+7a+2/a+6=a+1-4/a+6.
• г) 3b²-10b-1/b-3.
  Делим 3b²-10b-1 на b-3.
  Первое слагаемое частного: 3b²:b=3b. Умножаем (b-3) на 3b, получаем 3b²-9b. Вычитаем: (3b²-10b-1)-(3b²-9b)=-b-1.
  Второе слагаемое частного: -b:b=-1. Умножаем (b-3) на -1, получаем -b+3. Вычитаем: (-b-1)-(-b+3)=-4.
  Частное равно 3b-1, остаток -4.
  Запись: 3b²-10b-1/b-3=3b-1-4/b-3.

Проверка результатов выполняется умножением полученного целого выражения на знаменатель и прибавлением остатка. Например, для пункта в): (a+1)(a+6)-4=a²+6a+a+6-4=a²+7a+2, что совпадает с исходным числителем. Аналогичная проверка подтверждает верность остальных преобразований.