8 класс дроби Глава I. Рациональные дроби

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 234: дроби

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Анна Соколова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 233 235 →

Условие

Доказать тождество: сумма дробей 1/((a-b)(b-c)) + 1/((c-a)(a-b)) + 1/((b-c)(c-a)) равна нулю при всех допустимых значениях переменных.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для доказательства тождества нам необходимо привести все три дроби к общему знаменателю и показать, что числитель resulting выражения равен нулю. Заметим, что множители в знаменателях связаны между собой: (c-a)=-(a-c), но удобнее использовать циклическую симметрию или просто перемножить разности.

Общий знаменатель для всех трёх дробей будет равен произведению всех различных линейных множителей: (a-b)(b-c)(c-a)

Приведём каждую дробь к этому общему знаменателю:

Первая дробь 1/(a-b)(b-c) требует домножения на (c-a). Получаем: c-a/(a-b)(b-c)(c-a)
Вторая дробь 1/(c-a)(a-b) требует домножения на (b-c). Получаем: b-c/(c-a)(a-b)(b-c)
Третья дробь 1/(b-c)(c-a) требует домножения на (a-b). Получаем: a-b/(b-c)(c-a)(a-b)

Теперь сложим полученные дроби. Так как знаменатели одинаковы, складываем только числители:

Числитель =(c-a)+(b-c)+(a-b)

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

c-a+b-c+a-b=(c-c)+(-a+a)+(b-b)=0+0+0=0

Таким образом, сумма дробей равна:

0/(a-b)(b-c)(c-a)=0

Тождество доказано при условии, что знаменатель не обращается в ноль, то есть a≠b, b≠c и c≠a.

Ответ

Доказано

Ключевым моментом является правильный выбор общего знаменателя и внимательное раскрытие скобок в числителе. Все переменные сокращаются.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 234 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 234?

Краткий ответ: Доказано.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Глава I. Рациональные дроби.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.