ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 235: дроби

Рассмотрим каждое выражение по отдельности. Для упрощения рациональных дробей необходимо привести их к общему знаменателю, выполнив сложение или вычитание числителей, а затем сократить полученную дробь, если это возможно.

а) 5/y-3+1/y+3-4y-18/y²-9

• Разложим знаменатели на множители: y²-9=(y-3)(y+3). Общий знаменатель: (y-3)(y+3).
• Приведем дроби к общему знаменателю:
5(y+3)/(y-3)(y+3)+1(y-3)/(y-3)(y+3)-4y-18/(y-3)(y+3)
• Сложим числители:
5y+15+y-3-(4y-18)/y²-9=6y+12-4y+18/y²-9=2y+30/y²-9
• Ответ: 2y+30/y²-9.

б) 2a/2a+3+5/3-2a-4a²+9/4a²-9

• Заметим, что 3-2a=-(2a-3) и 4a²-9=(2a-3)(2a+3). Перепишем вторую дробь: 5/-(2a-3)=-5/2a-3.
• Общий знаменатель: (2a-3)(2a+3).
• Приведем к общему знаменателю:
2a(2a-3)/(2a+3)(2a-3)-5(2a+3)/(2a-3)(2a+3)-4a²+9/(2a-3)(2a+3)
• Раскроем скобки в числителе:
4a²-6a-(10a+15)-(4a²+9)/4a²-9=4a²-6a-10a-15-4a²-9/4a²-9=-16a-24/4a²-9
• Вынесем общий множитель -8 в числителе:
-8(2a+3)/(2a-3)(2a+3)=-8/2a-3=8/3-2a
• Ответ: 8/3-2a.

в) 4m/4m²-1-2m+1/6m-3+2m-1/4m+2

• Разложим знаменатели: 4m²-1=(2m-1)(2m+1), 6m-3=3(2m-1), 4m+2=2(2m+1).
• Наименьший общий знаменатель: 6(2m-1)(2m+1).
• Дополнительные множители: для первой дроби 6, для второй 2(2m+1), для третьей 3(2m-1).
• Запишем сумму числителей:
4m·6-(2m+1)·2(2m+1)+(2m-1)·3(2m-1)/6(4m²-1) 24m-2(4m²+4m+1)+3(4m²-4m+1)/6(4m²-1) 24m-8m²-8m-2+12m²-12m+3/6(4m²-1)=4m²+4m+1/6(4m²-1)
• Числитель является полным квадратом: (2m+1)². Знаменатель: 6(2m-1)(2m+1).
• Сократим на (2m+1):
2m+1/6(2m-1)=2m+1/12m-6
• Ответ: 2m+1/12m-6.

г) 1/(x+y)²-2/x²-y²+1/(x-y)²

• Знаменатели: (x+y)², (x-y)(x+y), (x-y)². Общий знаменатель: (x+y)²(x-y)²=(x²-y²)².
• Приведем к общему знаменателю:
(x-y)²-2(x+y)(x-y)+(x+y)²/(x²-y²)²
• В числителе видим формулу квадрата разности: A²-2AB+B²=(A-B)², где A=x-y, B=x+y.
((x-y)-(x+y))²=(-2y)²=4y²
• Получаем:
4y²/(x²-y²)²
• Однако, давайте проверим ключ. В ключе дано 4y²/x²-y². Это возможно только если исходное выражение было другим или я ошибся в приведении. Пересчитаем аккуратно без свертывания сразу.
Числитель: (x²-2xy+y²)-2(x²-y²)+(x²+2xy+y²) x²-2xy+y²-2x²+2y²+x²+2xy+y²=(x²-2x²+x²)+(-2xy+2xy)+(y²+2y²+y²)=4y² Знаменатель: (x+y)²(x-y)²=(x²-y²)² Итог: 4y²/(x²-y²)²
• Сравним с ключом 4y²/x²-y². Ключ предполагает сокращение на (x²-y²), но в числителе нет такого множителя. Возможно, в условии опечатка или ключ неверен? Проверим пункт е). Если ключ верен, то может быть ошибка в условии задачи г)? Нет, условие стандартное. Давайте перепроверим знаки. 1/(x+y)²-2/x²-y²+1/(x-y)². Да, всё верно. Результат 4y²/(x²-y²)². Но так как инструкция говорит "ключ из раздела «Ответы» — ориентир", а математика неоспорима, я напишу правильный ответ, но отмечу расхождение. Однако, часто в таких задачах бывает, что средний член имеет другой знак или коэффициент. Если бы было +2/x²-y², то числитель был бы 2(x²+y²). Если бы знаменатель общего был просто x²-y², то нужно было бы другое условие. Оставлю строгий вывод: 4y²/(x²-y²)². Примечание: В предоставленном ключе указан ответ 4y²/x²-y², что математически не соответствует данному условию при стандартных правилах алгебры. Ниже приведен корректный вывод.
• Ответ: 4y²/(x²-y²)².

д) 4a²+3a+2/a³-1-1-2a/a²+a+1

• Разложим первый знаменатель: a³-1=(a-1)(a²+a+1).
• Общий знаменатель: (a-1)(a²+a+1).
• Приведем вторую дробь, домножив числитель и знаменатель на (a-1):
4a²+3a+2/(a-1)(a²+a+1)-(1-2a)(a-1)/(a²+a+1)(a-1)
• Раскроем скобки во втором числителе:
(1-2a)(a-1)=a-1-2a²+2a=-2a²+3a-1
• Вычтем числители:
(4a²+3a+2)-(-2a²+3a-1)=4a²+3a+2+2a²-3a+1=6a²+3
• Получаем дробь:
6a²+3/a³-1
• Ответ: 6a²+3/a³-1.

е) x-y/x²+xy+y²-3xy/x³-y³+1/x-y

• Разложим знаменатель второй дроби: x³-y³=(x-y)(x²+xy+y²).
• Общий знаменатель: (x-y)(x²+xy+y²).
• Приведем первую дробь, домножив на (x-y), а третью на (x²+xy+y²):
(x-y)²-3xy+(x²+xy+y²)/(x-y)(x²+xy+y²)
• Раскроем скобки в числителе:
(x²-2xy+y²)-3xy+x²+xy+y²=2x²-4xy+2y²
• Вынесем 2 за скобку:
2(x²-2xy+y²)=2(x-y)²
• Подставим обратно в дробь:
2(x-y)²/(x-y)(x²+xy+y²)
• Сократим на (x-y):
2(x-y)/x²+xy+y²=2x-2y/x²+xy+y²
• Ответ: 2x-2y/x²+xy+y².