ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 242: система уравнений
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Татьяна Белова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Найдите значения a и b, при которых выполняется тождество
а) 5x/((x-2)(x+3)) = a/(x-2) + b/(x+3)
б) (5x+31)/((x-5)(x+2)) = a/(x-5) - b/(x+2).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задач на тождества рациональных дробей необходимо привести правую часть к общему знаменателю и приравнять числители. Это позволит составить систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов a и b.
Пункт а)
Дано тождество: 5x/(x-2)(x+3)=a/x-2+b/x+3
- Приведем правую часть к общему знаменателю (x-2)(x+3): a(x+3)+b(x-2)/(x-2)(x+3)=ax+3a+bx-2b/(x-2)(x+3)=(a+b)x+(3a-2b)/(x-2)(x+3)
- Приравняем числители левой и правой частей, так как знаменатели совпадают: 5x=(a+b)x+(3a-2b)
- Составим систему уравнений, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x: {a+b=53a-2b=0
- Решим систему. Из первого уравнения выразим b=5-a. Подставим во второе: 3a-2(5-a)=0
3a-10+2a=0
5a=10
a=2 Тогда b=5-2=3.
Проверка: При a=2,b=3 получаем 2/x-2+3/x+3=2(x+3)+3(x-2)/(x-2)(x+3)=2x+6+3x-6/(x-2)(x+3)=5x/(x-2)(x+3). Тождество верно.
Пункт б)
Дано тождество: 5x+31/(x-5)(x+2)=a/x-5-b/x+2
- Приведем правую часть к общему знаменателю (x-5)(x+2), учитывая знак минус перед второй дробью: a(x+2)-b(x-5)/(x-5)(x+2)=ax+2a-bx+5b/(x-5)(x+2)=(a-b)x+(2a+5b)/(x-5)(x+2)
- Приравняем числители: 5x+31=(a-b)x+(2a+5b)
- Составим систему уравнений: {a-b=52a+5b=31
- Решим систему. Из первого уравнения a=b+5. Подставим во второе: 2(b+5)+5b=31
2b+10+5b=31
7b=21
b=3 Тогда a=3+5=8.
Проверка: При a=8,b=3 получаем 8/x-5-3/x+2=8(x+2)-3(x-5)/(x-5)(x+2)=8x+16-3x+15/(x-5)(x+2)=5x+31/(x-5)(x+2). Тождество верно.
а) a=2, b=3
б) a=8, b=3
Задача решается методом неопределенных коэффициентов. В пункте б важно обратить внимание на знак минус перед дробью с коэффициентом b, что влияет на знаки в системе уравнений.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 242 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 242?
Краткий ответ: а) a=2, b=3; б) a=8, b=3.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Глава I. Рациональные дроби.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.