ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 241: дроби
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Мария Волкова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Определите целые значения n, при которых значение дроби является целым числом
а) (5n2+/2n+3)
б) (n-3)^2/n
в) 3n/(n+2)
г) 7n/(n-4).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Чтобы значение дроби было целым числом, числитель должен делиться на знаменатель без остатка. Для рациональных дробей с переменными удобно использовать метод выделения целой части или замены переменной в знаменателе.
а) Дробь 5n2+2n+3/n. Разделим почленно: 5n2/n+2n/n+3/n=5n+2+3/n. Выражение 5n+2 всегда целое при целом n. Значит, нужно, чтобы 3/n было целым. Число n должно быть делителем числа 3. Делители 3: ±1,±3. Ответ: n∈{-3;-1;1;3}.
б) Дробь (n-3)2/n. Раскроем скобки в числителе: n2-6n+9/n=n-6+9/n. Аналогично пункту а), n-6 — целое. Требуется, чтобы 9/n было целым. n — делитель числа 9. Делители 9: ±1,±3,±9. Ответ: n∈{-9;-3;-1;1;3;9}.
в) Дробь 3n/n+2. Выразим n через знаменатель: пусть k=n+2, тогда n=k-2. Подставим: 3(k-2)/k=3k-6/k=3-6/k. Чтобы выражение было целым, 6/k должно быть целым, то есть k — делитель числа 6. Делители 6: ±1,±2,±3,±6. Найдем соответствующие n=k-2:
k=1⇒n=-1;
k=-1⇒n=-3;
k=2⇒n=0;
k=-2⇒n=-4;
k=3⇒n=1;
k=-3⇒n=-5;
k=6⇒n=4;
k=-6⇒n=-8.
Ответ: n∈{-8;-5;-4;-3;-1;0;1;4}.
г) Дробь 7n/n-4. Пусть k=n-4, тогда n=k+4. Подставим: 7(k+4)/k=7k+28/k=7+28/k. k должен быть делителем числа 28. Делители 28: ±1,±2,±4,±7,±14,±28. Найдем n=k+4:
k=1⇒n=5;
k=-1⇒n=3;
k=2⇒n=6;
k=-2⇒n=2;
k=4⇒n=8;
k=-4⇒n=0;
k=7⇒n=11;
k=-7⇒n=-3;
k=14⇒n=18;
k=-14⇒n=-10;
k=28⇒n=32;
k=-28⇒n=-24.
Ответ: n∈{-24;-10;-3;0;2;3;5;6;8;11;18;32}.
а) ±1,±3
б) ±1,±3,±9
в) -8,-5,-4,-3,-1,0,1,4
г) -24,-10,-3,0,2,3,5,6,8,11,18,32
В пункте (в) ключ учебника совпадает с моим решением. В пункте (г) ключ не дан, но логика решения аналогична пункту (в). Важно помнить, что знаменатель не может быть равен нулю, поэтому n≠0 для пунктов а, б и n≠-2 для пункта в, n≠4 для пункта г. Проверка исключений: в п.в) n=-2 не входит в список делителей так как k=0 не является делителем. В п.г) n=4 соответствует k=0, которого нет в списке делителей.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 241 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 241?
Краткий ответ: а) ± 1, ± 3; б) ± 1, ± 3, ± 9; в) -8, -5, -4, -3, -1, 0, 1, 4; г) -24, -10, -3, 0, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 18, 32.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Глава I. Рациональные дроби.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.