ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 299: Арифметический квадратный корень
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Мария Волкова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Привести контрпример для утверждений
а) при любом натуральном значении n значение выражения \sqrt{11-n} является иррациональным числом
б) при любом натуральном значении n значение выражения \sqrt{25-n} является иррациональным числом.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Чтобы опровергнуть утверждение вида «при любом n значение является иррациональным», достаточно найти хотя бы одно натуральное число n, при котором выражение под корнем становится полным квадратом. В этом случае арифметический квадратный корень извлечётся точно и даст рациональное число.
а) Рассмотрим выражение 11-n. Нам нужно подобрать такое натуральное n, чтобы 11-n было квадратом целого числа. Попробуем получить в подкоренном выражении число 9 (так как 9=32). Решим уравнение 11-n=9, откуда n=2. Число 2 является натуральным. Подставим его в исходное выражение: 11-2=9=3. Число 3 — рациональное. Следовательно, контрпример найден: при n=2 утверждение ложно.
б) Теперь рассмотрим выражение 25-n. Ищем натуральное n, при котором 25-n станет полным квадратом. Возьмём, например, число 16 (16=42). Тогда 25-n=16, откуда n=9. Число 9 — натуральное. Проверим значение выражения: 25-9=16=4. Число 4 — рациональное. Значит, при n=9 утверждение также оказывается неверным.
а) n=2
б) n=9
Для пункта а) выбрано n=2, так как 11-2=9, корень равен 3 (рациональное). Для пункта б) выбрано n=9, так как 25-9=16, корень равен 4 (рациональное). Другие варианты для б): n=24 (корень 1), n=21 (корень 2), n=16 (корень 3), n=9 (корень 4), n=0 не подходит (не натуральное обычно в школьной программе, но если считать натуральными с 1, то 0 нет). Вариант n=9 удобен тем, что дает целый корень.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 299 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 299?
Краткий ответ: а) n=2; б) n=9.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Арифметический квадратный корень.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.