ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 3: уравнения
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Сергей Мишин, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Сформулируйте и докажите теорему о разложении на множители квадратного трёхчлена, имеющего корни.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Сформулировать теорему о разложении квадратного трёхчлена на множители.
- Привести доказательство теоремы, используя определение корней и свойства равенства многочленов.
Формулировка теоремы:
Если x1 и x2 — корни квадратного трёхчлена ax2+bx+c, то этот трёхчлен можно представить в виде произведения:
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
Доказательство:
По определению корня уравнения, если число x1 является корнем трёхчлена ax2+bx+c, то при подстановке x=x1 значение трёхчлена равно нулю: ax21+bx1+c=0. Аналогично для второго корня: ax22+bx2+c=0.
Рассмотрим выражение a(x-x1)(x-x2). Раскроем скобки в этом произведении:
a(x2-x2x-x1x+x1x2)=ax2-a(x1+x2)x+ax1x2Согласно теореме Виета (или непосредственно из формул корней), для квадратного уравнения ax2+bx+c=0 справедливы соотношения:
x1+x2=-b/a и x1·x2=c/a.
Подставим эти суммы и произведения в раскрытое выражение:
ax2-a(-b/a)x+a(c/a)=ax2+bx+cМы получили исходный квадратный трёхчлен. Следовательно, равенство ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) верно.
Примечание: Если дискриминант равен нулю (D=0), то x1=x2, и формула принимает вид ax2+bx+c=a(x-x1)2.
Теорема: ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2). Доказательство через раскрытие скобок и теорему Виета.
В условии требуется сформулировать и доказать общую теорему. В решении приведена стандартная формулировка и доказательство, опирающееся на связь коэффициентов и корней (теорему Виета). Это соответствует уровню 8 класса по теме дробных рациональных уравнений, где знание факторизации числителя/знаменателя критически важно.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 3 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 3?
Краткий ответ: Теорема: ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2). Доказательство через раскрытие скобок и теорему Виета.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Глава I. Рациональные дроби.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.