ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 312: Неравенства с одной переменной и их системы

План решения:

Для определения наличия корней в уравнениях вида x²=a необходимо проанализировать знак числа a (правой части уравнения). Вспомним свойства квадрата действительного числа: квадрат любого числа неотрицателен. Следовательно, если правая часть положительна, то есть два корня; если равна нулю — один корень; если отрицательна — корней нет.

Пошаговое вычисление:

• а) Уравнение x²=81. Так как 81>0, уравнение имеет два корня. Извлекаем арифметический квадратный корень: 81=9. Корни: x₁=9, x₂=-9.
• б) Уравнение x²=18. Так как 18>0, уравнение имеет два корня. Число 18 не является полным квадратом целого числа, поэтому корни записываются через радикал: x₁=18, x₂=-18. При желании можно упростить выражение: 18=9·2=32. Тогда x₁=32, x₂=-32.
• в) Уравнение x²=0. Квадрат числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю. Следовательно, уравнение имеет единственный корень: x=0.
• г) Уравнение x²=-25. Так как -25<0, а квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным (x²≥0 для любого x), это уравнение не имеет корней.

Проверка и вывод:

Подставим найденные значения обратно в исходные уравнения для верности. Для пункта а): 9²=81 и (-9)²=81 — верно. Для пункта б): (32)²=9·2=18 — верно. Для пункта в): 0²=0 — верно. Для пункта г): подставить нечего, так как решений нет, что согласуется с теорией о неотрицательности квадрата.