ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 353: Арифметический квадратный корень
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Светлана Крылова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Задание для работы в парах. Определите, имеют ли общие точки графики функций
а) y=x и y=x
б) y=x и y=1000
в) y=x и y=x+10
г) y=x и y = -x+1,5. При положительном ответе укажите координаты общих точек. Также требуется распределить задания между партнерами, проверить друг друга и привести примеры линейных функций, графики которых не пересекают, пересекают в одной точке или в двух точках график y=x.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Чтобы найти общие точки графиков функций y=x и другой функции, нужно решить систему уравнений. Для этого приравняем правые части выражений для y или подставим одно в другое. Важно помнить об области определения: x≥0. Если после возведения в квадрат получаем корни, необходимо проверить их на принадлежность ОДЗ и исходному уравнению (так как возведение в квадрат может привести к посторонним корням).
Вычисление по пунктам:
- а) y=x и y=x
Приравниваем: x=x.
Возводим в квадрат: x=x2⇒x2-x=0⇒x(x-1)=0.
Корни: x1=0, x2=1. Оба подходят (x≥0).
Находим y: при x=0,y=0; при x=1,y=1.
Ответ: да, имеют общие точки (0;0) и (1;1). - б) y=x и y=1000
Приравниваем: x=1000.
Возводим в квадрат: x=10002=1000000.
Проверка: x>0, подходит.
Координата y известна из условия второй функции: y=1000.
Ответ: да, имеет общую точку (1000000;1000). - в) y=x и y=x+10
Приравниваем: x=x+10.
Так как x≥0, то и правая часть должна быть неотрицательной: x+10≥0⇒x≥-10. С учетом ОДЗ x≥0.
Возводим в квадрат: x=(x+10)2⇒x=x2+20x+100.
Переносим всё в одну сторону: x2+19x+100=0.
Дискриминант: D=192-4·1·100=361-400=-39<0.
Уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет, общих точек не имеют. - г) y=x и y=-x+1,5
Приравниваем: x=-x+1,5.
Ограничение: правая часть должна быть ≥0, т.е. -x+1,5≥0⇒x≤1,5. Также x≥0. Значит, 0≤x≤1,5.
Возводим в квадрат: x=(-x+1,5)2⇒x=x2-3x+2,25.
Приводим к стандартному виду: x2-4x+2,25=0.
Дискриминант: D=(-4)2-4·1·2,25=16-9=7.
Корни: x1,2=4±7/2=2±7/2.
Приближенно 7≈2,65.
x1=2+1,325=3,325. Не входит в промежуток [0;1,5].
x2=2-1,325=0,675. Входит в промежуток [0;1,5].
Точное значение x2=4-7/2.
Найдем y: y=x2. Или проще через линейную функцию: y=-x2+1,5=-(2-7/2)+1,5=-2+7/2+1,5=7/2-0,5=7-1/2.
Ответ: да, имеет общую точку (4-7/2;7-1/2).
Проверка и примеры для работы в парах:
Для пункта а) подставим (1;1): 1=1 верно. Для пункта г) подставим приближенные значения: x≈0,68, y≈0,82. 0,68≈0,82, -0,68+1,5=0,82. Верно.
Примеры распределения заданий между партнерами:
- Не пересекают график y=x: y=-1 (прямая ниже оси абсцисс, а ветвь параболы только выше или на оси), y=x+10 (как в пункте в).
- Пересекают в одной точке: y=0 (касается в (0;0)), y=2 (точка (4;2)), y=-x+1,5 (как в пункте г).
- Пересекают в двух точках: y=x (как в пункте а), y=0,5x (решение x=0,5x⇒x=0,25x2⇒x(0,25x-1)=0⇒x=0,x=4).
а) Да, (0;0), (1;1)
б) Да, (1000000;1000)
в) Нет
г) Да, ((4-7)/2; (7-1)/2)
В пункте г) важно отобрать корни с учетом ограничения x≥0, что означает -x+1,5≥0. Один из корней квадратного уравнения оказывается больше 1,5 и является посторонним.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 353 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 353?
Краткий ответ: а) Да, (0;0), (1;1); б) Да, (1000000;1000); в) Нет; г) Да, ( (4-√7)2; (√7-1)2).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Арифметический квадратный корень.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.