ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 355: Арифметический квадратный корень

Для решения уравнений графическим методом необходимо построить графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения, и найти абсциссы точек их пересечения. Область допустимых значений (ОДЗ) для функции y=x — это x≥0.

а) x=6-x

• Построим график функции y₁=x. Это ветвь параболы, начинающаяся в точке (0;0) и проходящая через точки (1;1),(4;2),(9;3).
• Построим график функции y₂=6-x. Это прямая линия с угловым коэффициентом -1, пересекающая ось OY в точке (0;6) и ось OX в точке (6;0).
• Найдем точку пересечения. Подставим координаты: если x=4, то y₁=4=2 и y₂=6-4=2. Точки совпадают.
• Проверим единственность: функция y₁ возрастает, а y₂ убывает на промежутке [0;+∞), значит, пересечение может быть только одно.

Ответ: x=4.

б) x=4/x

• Построим график y₁=x (как в пункте а).
• Построим график y₂=4/x. При x>0 это гипербола, расположенная в первой четверти. Характерные точки: (1;4),(2;2),(4;1).
• Ищем пересечение. Заметим, что при x=2: y₁=2≈1.41, y₂=4/2=2. Не совпадает. Попробуем подобрать целое или простое значение. Если возвести обе части в квадрат: x=16/x²⇒x³=16⇒x=316. Это не «красивое» число для школьного графика, но проверим другой подход. Возможно, опечатка в условии или я должен искать приближенное? Нет, давайте посмотрим внимательнее. А, стоп, обычно в таких задачах ответы целые. Проверим x=4: 4=2, 4/4=1. Нет. Проверим x=1: 1≠4.
  Давайте решим алгебраически для проверки графика: x=4/x⇒xx=4⇒x^3/2=4⇒x=4^2/3=316≈2.52.
  Однако, часто в учебниках 8 класса подразумевается более простой вид. Перечитаю условие: x=4/x. Да, верно. Графически мы видим пересечение около x≈2.5. Но если предположить, что в условии имелось в виду x=4-x (аналогично пункту а), то ответ был бы другим. Строго по тексту: решение иррациональное.
  Примечание: В стандартных школьных задачах такого типа ответы обычно целые. Давайте проверим, не было ли опечатки в OCR или условии. Если бы было x=4-x, то x=4 (2=2). Если x=x/4, то x=16.
  Но я обязан решать строго по данному условию. Уравнение x=4/x имеет единственный корень x=316. На графике это точка пересечения кривой y=x и гиперболы y=4/x.

Ответ: x=316 (или x=232).

в) -x-5=x

• Построим график y₁=x. Все значения этой функции неотрицательны (y₁≥0).
• Построим график y₂=-x-5. Это прямая. При x≥0 (ОДЗ первого выражения) значения y₂ будут отрицательными или равными -5 (при x=0). Например, при x=0,y₂=-5; при x=1,y₂=-6.
• Сравниваем знаки: левая часть уравнения (x) всегда ≥0, а правая часть (-x-5) при x≥0 всегда <0.
• Графики не имеют общих точек, так как лежат в разных полуплоскостях относительно оси OX на области определения.

Ответ: нет решений.