ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 374: Свойства арифметического квадратного корня
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Никита Ершов, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Укажите натуральные значения n, при которых \sqrt{n2-75} является натуральным числом.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Обозначим значение корня за натуральное число k. Тогда получаем уравнение n2-75=k, где n и k — натуральные числа. Возведя обе части в квадрат, перейдем к разложению на множители: n2-k2=75. Это разность квадратов, которую можно представить как (n-k)(n+k)=75. Нам нужно найти все пары натуральных делителей числа 75, произведение которых равно 75, и проверить, дают ли они целые значения n.
Вычисление:
Разложим число 75 на все возможные пары положительных целых множителей (a,b), таких что a·b=75 и a<b (так как n-k<n+k для натуральных n,k). Возможные пары делителей: (1,75), (3,25), (5,15).
Рассмотрим каждую пару, приравнивая n-k=a и n+k=b. Складывая эти два уравнения, получаем 2n=a+b, откуда n=a+b/2.
- Для пары (1,75): n=1+75/2=76/2=38. Проверка: k=75-1/2=37. Подставим в исходное выражение: 382-75=1444-75=1369=37. Число 37 натуральное, значит n=38 подходит.
- Для пары (3,25): n=3+25/2=28/2=14. Проверка: k=25-3/2=11. Подставим: 142-75=196-75=121=11. Число 11 натуральное, значит n=14 подходит.
- Для пары (5,15): n=5+15/2=20/2=10. Проверка: k=15-5/2=5. Подставим: 102-75=100-75=25=5. Число 5 натуральное, значит n=10 подходит.
Проверка и вывод:
Мы перебрали все возможные разложения числа 75 на два множителя. Другие варианты (например, когда a>b или отрицательные делители) не подходят по условию задачи, так как n и k должны быть натуральными числами, а сумма n+k всегда больше разности n-k. Таким образом, найдены три подходящих значения n: 10, 14 и 38.
10; 14; 38
Задача сводится к решению диофантова уравнения через разложение на множители. Важно помнить, что n и k натуральные, поэтому n+k>n-k>0. Также необходимо убедиться, что найденные n действительно дают натуральное значение под корнем (что автоматически следует из построения k).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 374 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 374?
Краткий ответ: 10; 14; 38.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 5. Свойства арифметического квадратного корня.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.