ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 403: Применение свойств арифметического квадратного корня
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Алексей Широков, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Внести множитель под знак корня для выражений
а) 7\sqrt{10}
б) 5\sqrt{3}
в) 6\sqrt{x}
г) 10\sqrt{y}
д) 3\sqrt{2a}
е) 5\sqrt{3b}
ж) a\sqrt{x^2}
з) m2\sqrt{m^3}
и) 3xy2\sqrt{y}.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для того чтобы внести множитель под знак арифметического квадратного корня, нужно воспользоваться свойством: ab=a2b при условии, что a≥0. Если перед корнем стоит отрицательное число или переменная, которая может быть отрицательной, то знак минус выносится за скобки или учитывается в модуле, но в школьном курсе алгебры 8 класса обычно подразумевается, что буквенные множители вне корня положительны (или мы рассматриваем область определения так, чтобы это выполнялось). В данном задании будем считать, что все буквенные множители вне знака корня неотрицательны.
Рассмотрим каждый пункт по отдельности:
- а) 710. Возводим 7 в квадрат и умножаем на подкоренное выражение: 72·10=49·10=490.
- б) 53. Аналогично: 52·3=25·3=75.
- в) 6x. Здесь множитель 6 — число. Получаем: 62·x=36x.
- г) 10y. Множитель 10 возводим в квадрат: 102·y=100y.
- д) 32a. Число 3 уходит под корень как 9: 32·2a=9·2a=18a.
- е) 53b. Число 5 уходит под корень как 25: 52·3b=25·3b=75b.
- ж) ax2. Переменная a уходит под корень как a2: a2·x2=(ax)2. По определению арифметического корня u2=|u|, поэтому ответ можно оставить как a2x2 или упростить до |ax|. Однако задача требует именно внести множитель под знак корня, поэтому финальная форма с корнем предпочтительнее: a2x2.
- з) m2m3. Множитель m2 возводим в квадрат: (m2)2=m4. Умножаем на подкоренное выражение: m4·m3=m4+3=m7.
- и) 3xy2y. Здесь несколько множителей. Возводим весь блок 3xy2 в квадрат: (3xy2)2=32·x2·(y2)2=9x2y4. Умножаем на y: 9x2y4·y=9x2y5.
Проверка результатов основана на правиле степеней: при перемножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются (an·am=an+m), а при возведении степени в степень показатели перемножаются ((an)m=anm). Все преобразования выполнены верно согласно свойствам арифметического квадратного корня.
а) 490
б) 75
в) 36x
г) 100y
д) 18a
е) 75b
ж) a2x2
з) m7
и) 9x2y5
В пункте ж) важно не путать внесение множителя с извлечением корня. Задача просит именно внести a под корень, поэтому ответ a2x2 является корректным выполнением задания. В пункте з) и и) используются правила работы со степенями.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 403 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 403?
Краткий ответ: а) √490; б) √75; в) √36x; г) √100y; д) √18a; е) √75b; ж) a^2x^2; з) m^7; и) 9x^2y^5.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 6. Применение свойств арифметического квадратного корня.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.