8 класс Применение свойств арифметического квадратного корня § 6. Применение свойств арифметического квадратного корня

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 410: Применение свойств арифметического квадратного корня

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Мария Волкова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 409 411 →

Условие

Задача-исследование. Проверьте верность равенств 22/3=2\sqrt{2/3}, 33/8=3\sqrt{3/8}, 44/15=4\sqrt{4/15}. Выясните, каким должно быть соотношение между числами a и b, чтобы было верно равенство a+a/b=a\sqrt{a/b}, где a ∈ N и b ∈ N.

а) Возведите в квадрат обе части равенства.

б) Установите, каким должно быть соотношение между числами a и b. 3) Проиллюстрируйте правильность вашего вывода на примерах.

Квадрат

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Проверим верность предложенных равенств, возведя обе части в квадрат или упростив выражения под корнем.
Рассмотрим общее равенство a+a/b=aa/b и выведем условие на параметры a и b, выполнив алгебраические преобразования.
Сформулируем итоговый ответ и приведем дополнительные примеры для иллюстрации.

Вычисление:

1) Проверка конкретных равенств:

Для 22/3=22/3: Левая часть: 22/3=8/3. Правая часть: 22/3=4·2/3=8/3. Равенство верно.
Для 33/8=33/8: Левая часть: 33/8=27/8. Правая часть: 33/8=9·3/8=27/8. Равенство верно.
Для 44/15=44/15: Левая часть: 44/15=64/15. Правая часть: 44/15=16·4/15=64/15. Равенство верно.

2) Исследование общего случая:

Дано равенство: a+a/b=aa/b, где a∈N,b∈N.

Возведем обе части равенства в квадрат (так как обе части положительны, равносильность сохраняется):

a+a/b=a²·a/b a+a/b=a³/b

Умножим обе части уравнения на b (при b≠0):

ab+a=a³

Разделим обе части на a (при a≠0):

b+1=a² b=a²-1

Таким образом, равенство будет верным, если число b связано с числом a соотношением b=a²-1.

3) Иллюстрация вывода:

Проверим найденное соотношение на исходных примерах:

Если a=2, то b=2²-1=3. Это соответствует первому примеру (22/3).
Если a=3, то b=3²-1=8. Это соответствует второму примеру (33/8).
Если a=4, то b=4²-1=15. Это соответствует третьему примеру (44/15).

Приведем новый пример. Пусть a=5. Тогда b=5²-1=24. Проверим равенство 55/24=55/24.

Левая часть: 125+5/24=130/24=65/12. Правая часть: 25·5/24=125/24. Здесь возникла ошибка в проверке? Пересчитаем аккуратно. Левая часть: 5+5/24=120+5/24=125/24. Корень из этого числа: 125/24. Правая часть: 55/24=25·5/24=125/24. Равенство верно.

Проверка и вывод:

Мы установили, что предложенные равенства верны. Общее условие истинности равенства a+a/b=aa/b — это связь между натуральными числами a и b: b=a²-1. При выполнении этого условия левая и правая части равны после возведения в квадрат.

Ответ

Все три равенства верны. Соотношение между числами: b=a²-1.

Задача требует не просто проверки, а вывода общей формулы. Ключевой момент — возведение в квадрат и упрощение до линейного относительно b уравнения. Важно отметить, что a и b натуральные числа, поэтому b > 0 подразумевает a > 1.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 410 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 410?

Краткий ответ: Все три равенства верны. Соотношение между числами: b = a^2 - 1.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 6. Применение свойств арифметического квадратного корня.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.