8 класс Применение свойств арифметического квадратного корня § 6. Применение свойств арифметического квадратного корня

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 411: Применение свойств арифметического квадратного корня

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Светлана Крылова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 410 412 →

Условие

Найти площадь треугольника по формуле Герона S=p(p-a(p-b)(p-c)), где p — полупериметр, для сторон

а) 12 см, 16 см, 24 см

б) 18 см, 22 см, 26 см. Также распределить задания между учениками, проверить вычисления и обсудить изменение площади при увеличении всех сторон в 2 раза.

Треугольник

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Для нахождения площади треугольника по формуле Герона необходимо сначала вычислить полупериметр p для каждого случая. Формула полупериметра: p=a+b+c/2 Затем подставим найденные значения p, а также длины сторон a,b,c в формулу площади: S=p(p-a)(p-b)(p-c) После получения числовых ответов обсудим, как изменится площадь при увеличении всех сторон треугольника в 2 раза.

Вычисление пункта а):

Даны стороны: a=12 см, b=16 см, c=24 см.

Найдем полупериметр: p=12+16+24/2=52/2=26 см
Вычислим разности (p-a), (p-b), (p-c): p-a=26-12=14 p-b=26-16=10 p-c=26-24=2
Подставим в формулу Герона: S=26·14·10·2 Упростим подкоренное выражение, группируя множители для извлечения корней или просто перемножая: 26·14·10·2=364·20=7280 Разложим на простые множители для упрощения корня: 7280=16·455=4²·455 S=16·455=4455 см² Приближенное значение: 455≈21.33, тогда S≈4·21.33=85.32 см².

Вычисление пункта б):

Даны стороны: a=18 см, b=22 см, c=26 см.

Найдем полупериметр: p=18+22+26/2=66/2=33 см
Вычислим разности: p-a=33-18=15 p-b=33-22=11 p-c=33-26=7
Подставим в формулу Герона: S=33·15·11·7 Сгруппируем множители: 33=3·11 15=3·5 Тогда произведение под корнем: 3·11·3·5·11·7=(3·11)²·5·7=33²·35 Извлекаем полный квадрат: S=33²·35=3335 см² Приближенное значение: 35≈5.916, тогда S≈33·5.916=195.23 см².

Проверка и обсуждение изменения площади:

Рассмотрим вопрос об изменении площади при увеличении всех сторон в 2 раза. Пусть новые стороны равны 2a,2b,2c. Новый полупериметр будет равен p′=2a+2b+2c/2=2·a+b+c/2=2p.

Новая площадь S′ вычисляется так:

S′=p′(p′-2a)(p′-2b)(p′-2c) S′=2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c) S′=2p·2(p-a)·2(p-b)·2(p-c) S′=16·p(p-a)(p-b)(p-c) S′=4p(p-a)(p-b)(p-c)=4S

Таким образом, если все стороны треугольника увеличить в 2 раза, его площадь увеличится в 4 раза. Это согласуется с общим свойством подобия фигур: отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия (k²=2²=4).

Ответ

а) 4455 см²

б) 3335 см². При увеличении сторон в 2 раза площадь увеличивается в 4 раза.

В пункте а) получилось иррациональное число, которое не сводится к целому. В пункте б) удалось вынести множитель из-под корня. Обсуждение масштаба подтверждает геометрическое свойство подобия.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 411 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 411?

Краткий ответ: а) 4√455 см²; б) 33√35 см². При увеличении сторон в 2 раза площадь увеличивается в 4 раза.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 6. Применение свойств арифметического квадратного корня.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.