ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 419: Применение свойств арифметического квадратного корня
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Дмитрий Орлов, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Преобразуйте выражение
а) (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)
б) (\sqrt{x} - \sqrt{a})(\sqrt{x} + \sqrt{a})
в) (m+2)2
г) (3-x)2
д) (5\sqrt{7} - 13)(5\sqrt{7} + 13)
е) (2\sqrt{2} + 3\sqrt{3})(2\sqrt{2} - 3\sqrt{3})
ж) (6-2)2+3\sqrt{32}
з) (2+18)2-30.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения этих примеров мы будем использовать формулы сокращённого умножения: разность квадратов (a-b)(a+b)=a2-b2 и квадрат суммы/разности (a±b)2=a2±2ab+b2. Также вспомним свойство арифметического квадратного корня: (a)2=a при a≥0.
а) (x+1)(x-1)
Применяем формулу разности квадратов:
(x)2-12=x-1
б) (x-a)(x+a)
Снова используем разность квадратов:
(x)2-(a)2=x-a
в) (m+2)2
Раскрываем по формуле квадрата суммы:
(m)2+2·m·2+(2)2=m+22m+2
г) (3-x)2
Раскрываем по формуле квадрата разности:
(3)2-2·3·x+(x)2=3-23x+x
д) (57-13)(57+13)
Это произведение сопряжённых выражений (разность квадратов):
(57)2-132=25·7-169=175-169=6
е) (22+33)(22-33)
Применяем разность квадратов:
(22)2-(33)2=4·2-9·3=8-27=-19
ж) (6-2)2+332
Сначала раскроем скобки, затем упростим корень.
1) (6-2)2=62-2·6·2+(2)2=36-122+2=38-122.
2) Упростим слагаемое 332: так как 32=16·2, то 32=16·2=42. Значит, 332=3·42=122.
3) Складываем результаты: (38-122)+122=38.
з) (2+18)2-30
Можно сначала упростить выражение в скобках или сразу раскрыть квадрат. Раскроем квадрат:
1) (2+18)2=(2)2+2218+(18)2=2+236+18.
2) Так как 36=6, получаем: 2+2·6+18=2+12+18=32.
3) Вычитаем 30: 32-30=2.
а) x-1
б) x-a
в) m+22m+2
г) 3-23x+x
д) 6
е) -19
ж) 38
з) 2
Все пункты решены с использованием стандартных алгебраических тождеств. В пунктах д), е), ж), з) выполнены числовые вычисления, которые совпадают с ключом из учебника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 419 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 419?
Краткий ответ: а) x-1; б) x-a; в) m+2√2m+2; г) 3-2√3x+x; д) 6; е) -19; ж) 38; з) 2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 6. Применение свойств арифметического квадратного корня.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.