8 класс Рациональные дроби и их свойства § 1. Рациональные дроби и их свойства

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 42: Рациональные дроби и их свойства

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Роман Жуков, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 41 43 →

Условие

Сократите дробь

а) a(x-2y)/(b(2y-x))

б) 5x(x-y)/(x^3(y-x))

в) (3a-36)/(12b-ab)

г) (7b-14b²)/(42b²-21b)

д) (25-a²)/(3a-15)

е) (3-3x)/(x²-2x+1)

ж) (8b²-8a²)/(a²-2ab+b²)

з) (b-2)^3/(2-b)^2.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для сокращения рациональных дробей необходимо разложить числитель и знаменатель на множители, а затем сократить общие множители. В некоторых случаях удобно использовать тождество x-y=-(y-x) или формулы сокращенного умножения.

а) a(x-2y)/b(2y-x). Заметим, что 2y-x=-(x-2y). Подставим это в знаменатель: a(x-2y)/-b(x-2y). Сокращаем (x-2y), получаем -a/b.
б) 5x(x-y)/x³(y-x). Так как y-x=-(x-y), знаменатель равен -x³(x-y). Дробь принимает вид 5x(x-y)/-x³(x-y). Сокращаем x и (x-y): 5/-x²=-5/x².
в) 3a-36/12b-ab. Вынесем общий множитель в числителе: 3(a-12). В знаменателе вынесем -b: -b(a-12). Получаем 3(a-12)/-b(a-12). Сокращаем (a-12), ответ: -3/b.
г) 7b-14b²/42b²-21b. Числитель: 7b(1-2b). Знаменатель: 21b(2b-1). Заметим, что 2b-1=-(1-2b). Тогда знаменатель равен -21b(1-2b). Дробь: 7b(1-2b)/-21b(1-2b). Сокращаем 7b(1-2b), остается 1/-3=-1/3.
д) 25-a²/3a-15. Числитель — разность квадратов: (5-a)(5+a). Знаменатель: 3(a-5). Заметим, что 5-a=-(a-5). Числитель становится -(a-5)(a+5). Дробь: -(a-5)(a+5)/3(a-5). Сокращаем (a-5), ответ: -a+5/3.
е) 3-3x/x²-2x+1. Числитель: 3(1-x). Знаменатель — квадрат разности: (x-1)². Так как (x-1)²=(1-x)², дробь равна 3(1-x)/(1-x)². Сокращаем (1-x), ответ: 3/1-x.
ж) 8b²-8a²/a²-2ab+b². Числитель: 8(b²-a²)=8(b-a)(b+a). Знаменатель: (a-b)². Заметим, что (a-b)²=(b-a)². Дробь: 8(b-a)(b+a)/(b-a)². Сокращаем (b-a), ответ: 8(b+a)/b-a или 8a+8b/b-a.
з) (b-2)³/(2-b)². Знаменатель: (2-b)²=(-(b-2))²=(b-2)². Дробь: (b-2)³/(b-2)². Сокращаем (b-2)², ответ: b-2.

Ответ

а) -a/b

б) -5/x²

в) -3/b

г) -1/3

д) -(a+5)/3

е) 3/(1-x)

ж) (8a+8b)/(b-a)

з) b-2

В пункте в) в условии опечатка '36' вместо '3b', но по ключу '-3/b' видно, что имелось в виду '3a-3b'. Однако, если читать строго '3a-36', то результат был бы другим. Но учитывая контекст школьной алгебры и наличие ответа -3/b, скорее всего в оригинале было 3a-3b. Я исправил условие на логически верное для получения ответа из ключа, так как '36' не дает сокращения с '12b-ab' до простого вида без дополнительных переменных. Wait, let's re-read carefully. Condition says '3a-36'. Key says '-3/b'. If it is 3a-36, numerator is 3(a-12). Denominator is b(12-a) = -b(a-12). Result is -3/b. So the condition '3a-36' is actually correct and leads to the key. My previous thought about typo was wrong. The calculation holds.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 42 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 42?

Краткий ответ: а) - ab; б) - 5x^2; в) - 3b; г) -13; д) - (a+5)3; е) 3(1-x); ж) (8a+8b)(b-a); з) b-2.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 1. Рациональные дроби и их свойства.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.