ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 427: Применение свойств арифметического квадратного корня
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Юлия Громова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите, что значение выражения
а) 1/(33-4) - 1/(33+4) является рациональным числом
б) 1/(5-26) - 1/(5+26) является иррациональным числом.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Для доказательства рациональности или иррациональности значений выражений необходимо упростить данные алгебраические дроби. Основной метод здесь — приведение к общему знаменателю с использованием формулы разности квадратов (a-b)(a+b)=a2-b2, так как в знаменателях стоят сопряжённые выражения вида A-B и A+B. После упрощения мы проанализируем полученный результат на наличие иррациональной части.
Решение пункта а)
Дано выражение: 1/33-4-1/33+4
Приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению исходных знаменателей: (33-4)(33+4)=(33)2-42=9·3-16=27-16=11.
Числитель resulting fraction будет равен разности вторых множителей при умножении числителей на соответствующие дополнительные множители (или просто вычитанием дробей после приведения):
(33+4)-(33-4)/11=33+4-33+4/11=8/11.
Число 8/11 является обыкновенной дробью, то есть рациональным числом. Таким образом, значение выражения является рациональным числом, что и требовалось доказать.
Решение пункта б)
Дано выражение: 1/5-26-1/5+26
Аналогично пункту а), найдём общий знаменатель, используя формулу разности квадратов:
(5-26)(5+26)=52-(26)2=25-(4·6)=25-24=1.
Теперь преобразуем числитель:
(5+26)-(5-26)/1=5+26-5+26=46.
В результате получилось число 46. Поскольку 6 не является квадратом целого числа, это иррациональное число. Произведение рационального числа (4) на иррациональное (6) также является иррациональным числом. Следовательно, значение выражения является иррациональным числом, что и требовалось доказать.
Проверка:
В пункте а) иррациональные слагаемые 33 сократились, оставив только рациональную часть 8/11. В пункте б) рациональные части 5 сократились, но иррациональные части 26 сложились, дав 46. Логика применения свойств сопряжённых выражений верна.
а) Доказано, т.к. равно 8/11
б) Доказано, т.к. равно 4\sqrt{6}
Использована техника приведения к общему знаменателю через разность квадратов. Ключевые моменты: в п.а) иррациональность исчезает при вычитании, в п.б) она сохраняется.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 427 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 427?
Краткий ответ: а) Доказано, т.к. равно 811; б) Доказано, т.к. равно 4√6.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 6. Применение свойств арифметического квадратного корня.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.