ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 428: Применение свойств арифметического квадратного корня
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Екатерина Новикова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Определите, между какими последовательными целыми числами находится значение выражения
а) 1/(5-2)
б) 2/(5-3)
в) 3/(10+7)
г) (5+33)/(3+2).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Для каждого выражения сначала упростим его, избавившись от иррациональности в знаменателе (или числителе). Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение. После упрощения получим числовое значение или более простую иррациональную форму, которую можно оценить, используя приближённые значения корней (2≈1.41, 3≈1.73, 5≈2.24).
Вычисление по пунктам:
а) 1/5-2
Умножаем на сопряжённое 5+2:
1(5+2)/(5-2)(5+2)=5+2/5-4=5+2Так как 2<5<3 (точнее 5≈2.24), то:
2+2<5+2<3+2⇒4<5+2<5Значение находится между целыми числами 4 и 5 .
б) 2/5-3
Умножаем на сопряжённое 5+3:
2(5+3)/(5-3)(5+3)=2(5+3)/5-3=2(5+3)/2=5+3Оценим сумму: 5≈2.24, 3≈1.73. Сумма ≈3.97. Строго:
Так как 2.2<5<2.3 и 1.7<3<1.8, то сумма больше 3.9 и меньше 4.1. Проверим граничные целые числа:
3<5+3<4?Возведём в квадрат для проверки верхней границы: (5+3)2=5+3+215=8+215. Так как 15<4, то 215<8, значит сумма квадратов <16, откуда само число <4. Нижняя граница очевидна (>2+1=3).
Значение находится между целыми числами 3 и 4 .
в) 3/10+7
Умножаем на сопряжённое 10-7:
3(10-7)/(10+7)(10-7)=3(10-7)/10-7=3(10-7)/3=10-7Оценим разность: 10≈3.16, 7≈2.65. Разность ≈0.51.
Строго: так как 3<10<4 и 2<7<3, то результат положительный и меньше 1 (так как 10<7+1Leftrightarrow10<7+1+27Leftrightarrow2<27Leftrightarrow1<7, что верно).
Значение находится между целыми числами 0 и 1 .
г) 5+33/3+2
Умножаем на сопряжённое 3-2:
(5+33)(3-2)/(3+2)(3-2)=53-10+3(3)-63/3-4=53-10+9-63/-1=-3-1/-1=3+1Так как 1<3<2 (точнее 3≈1.73), то:
1+1<3+1<2+1⇒2<3+1<3Значение находится между целыми числами 2 и 3 .
Проверка:
Все преобразования выполнены с использованием формулы разности квадратов (a-b)(a+b)=a2-b2. Оценки корней взяты из таблицы простых иррациональных чисел. Результаты согласуются с логикой задачи.
а) 4 и 5
б) 3 и 4
в) 0 и 1
г) 2 и 3
Задача требует навыков освобождения от иррациональности в знаменателе и оценки значений квадратных корней. В пункте б) важно заметить сокращение двойки после домножения. В пункте г) при раскрытии скобок в числителе легко ошибиться со знаками.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 428 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 428?
Краткий ответ: а) 4 и 5; б) 3 и 4; в) 0 и 1; г) 2 и 3.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 6. Применение свойств арифметического квадратного корня.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.