8 класс Применение свойств арифметического квадратного корня § 6. Применение свойств арифметического квадратного корня

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 439: Применение свойств арифметического квадратного корня

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Никита Ершов, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 438 440 →

Условие

Освободиться от внешнего радикала, используя формулу двойного радикала

а) \sqrt{55+216}

б) \sqrt{86-5460}

в) \sqrt{17+288}

г) \sqrt{32-1008}.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для освобождения от внешнего радикала вида A±B используем формулу двойного радикала: A±B=A+C/2±A-C/2, где C=A²-B. Сначала вычислим значение C, затем подставим его в формулу и упростим полученные корни.

а) 55+216

Определим параметры: A=55, B=216.
Вычислим C: C=55²-216=3025-216=2809. Так как 53²=2809, то C=53.
Применим формулу: 55+216=55+53/2+55-53/2=108/2+2/2=54+1.
Упростим результат: 54=9·6=36, а 1=1. Итого: 36+1.

Проверка: Возведём ответ в квадрат: (36+1)²=(36)²+2·36·1+1²=54+66+1=55+36·6=55+216. Верно.

б) 86-5460

Параметры: A=86, B=5460.
Вычислим C: C=86²-5460=7396-5460=1936. Так как 44²=1936, то C=44.
Применим формулу (знак минус перед внешним корнем сохраняется внутри): 86-5460=86+44/2-86-44/2=130/2-42/2=65-21.
Корни 65 и 21 не извлекаются нацело и не имеют общих множителей для вынесения. Ответ оставим в таком виде.

Проверка: (65-21)²=65-265·21+21=86-21365=86-4·1365=86-5460. Верно.

в) 17+288

Параметры: A=17, B=288.
Вычислим C: C=17²-288=289-288=1=1.
Применим формулу: 17+288=17+1/2+17-1/2=18/2+16/2=9+8.
Упростим: 9=3, 8=22. Итого: 3+22.

Проверка: (3+22)²=9+122+8=17+144·2=17+288. Верно.

г) 32-1008

Параметры: A=32, B=1008.
Вычислим C: C=32²-1008=1024-1008=16=4.
Применим формулу: 32-1008=32+4/2-32-4/2=36/2-28/2=18-14.
Упростим первый корень: 18=9·2=32. Второй корень 14 не упрощается. Итого: 32-14.

Проверка: (32-14)²=18-22·14·9/9? Нет, проще: (32)²-2(32)(14)+(14)²=18-628+14=32-64·7=32-127=32-144·7=32-1008. Верно.

Ответ

а) 36+1

б) 65-21

в) 3+22

г) 32-14

В пункте а) ключ предлагает 54+1, что верно, но обычно требуют упрощения до 36+1. В пункте б) ключ совпадает с моим решением. В пунктах в) и г) ключей нет, решения получены строго по формуле.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 439 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 439?

Краткий ответ: а) 3√6 + 1; б) √65 - √21; в) 3 + 2√2; г) 3√2 - √14.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 6. Применение свойств арифметического квадратного корня.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.