ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 441: Применение свойств арифметического квадратного корня

Для определения типа числа (рациональное или иррациональное) нам нужно упростить данные выражения. Ключевая идея здесь — представить подкоренные выражения в виде полного квадрата двучлена вида (a±b)²=a²±2ab+b². Если это удастся сделать, то корень из квадрата даст модуль разности или суммы |a \pm b|, что позволит выполнить арифметические действия. а) Разберём выражение 13+43-13-43 Рассмотрим первое слагаемое: 13+43. Нам нужно найти такие числа x и y, чтобы x²+y²=13 и 2xy=43 (или xy=23).Подберём значения. Пусть x=1 и y=12=23. Тогда x²+y²=1+12=13, а 2xy=2·1·23=43. Это подходит.Значит, 13+43=1²+2·1·23+(23)²=(1+23)².Аналогично для второго слагаемого: 13-43=(1-23)².Теперь вынесем корни: (1+23)²-(1-23)²=|1+23|-|1-23|.Так как 23>1, то 1+23>0, а 1-23 Складываем подобные слагаемые:1 + 1 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 2.Число 2 является целым, следовательно, оно рациональное. б) Разберём выражение\sqrt{19 - 2\sqrt{34}} + \sqrt{19 + 2\sqrt{34}}Ищем представление под корнем в виде(a \pm b)^{2}. Условия: a^{2} + b^{2} = 19и2ab = 2\sqrt{34}, откуда ab = \sqrt{34}.Подберём числа. Заметим, что\sqrt{34}можно представить как произведение\sqrt{17} \cdot \sqrt{2}. Проверим сумму квадратов:(\sqrt{17})^{2} + (\sqrt{2})^{2} = 17 + 2 = 19. Условие выполнено.Значит,19 - 2\sqrt{34} = (\sqrt{17} - \sqrt{2})^{2}и19 + 2\sqrt{34} = (\sqrt{17} + \sqrt{2})^{2}.Выносим корни:\sqrt{(\sqrt{17} - \sqrt{2})^{2}} + \sqrt{(\sqrt{17} + \sqrt{2})^{2}} = \lvert \sqrt{17} - \sqrt{2}\rvert + \lvert \sqrt{17} + \sqrt{2}\rvert .Определяем знаки под модулями. Так как17 > 2, то\sqrt{17} > \sqrt{2}, значит\sqrt{17} - \sqrt{2} > 0. Сумма двух положительных чисел также положительна.Раскрываем модули без изменения знаков:(\sqrt{17} - \sqrt{2}) + (\sqrt{17} + \sqrt{2}).Складываем:\sqrt{17} + \sqrt{17} - \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{17}.Число2\sqrt{17}содержит иррациональный множитель\sqrt{17}(так как 17 не является полным квадратом). Произведение рационального числа (2) на иррациональное (\sqrt{17}$) является иррациональным числом.