ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 440: Применение свойств арифметического квадратного корня
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Юлия Громова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Упростить выражение, предварительно вычислив значение a2, если
а) a=11+85} - \sqrt{11-85}
б) a=3+5} + \sqrt{3-5}.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Для упрощения выражений вида a2, где a содержит разность или сумму квадратных корней, сначала возведём a в квадрат. Используем формулы сокращённого умножения: (x-y)2=x2-2xy+y2 и (x+y)2=x2+2xy+y2. После вычисления значения a2 найдём само значение a, учитывая знак исходного выражения.
Вычисление:
а) Дано: a=11+85-11-85.
Возведём обе части равенства в квадрат:
a2=(11+85-11-85)2Раскроем скобки по формуле квадрата разности:
a2=(11+85)2-211+85·11-85+(11-85)2 a2=(11+85)-2(11+85)(11-85)+(11-85)Сгруппируем слагаемые под корнем и вне его. Подкоренное произведение является разностью квадратов:
(11+85)(11-85)=112-(85)2=121-85=36Теперь подставим это значение обратно в выражение для a2:
a2=11+85-236+11-85 a2=22-2·6=22-12=10Так как a2=10, то a=±10. Определим знак a. Заметим, что 11+85>11-85, так как подкоренные выражения положительны и первое больше второго. Следовательно, разность положительных чисел положительна: a>0. Поэтому выбираем положительный корень:
a=10б) Дано: a=3+5+3-5.
Возведём обе части равенства в квадрат:
a2=(3+5+3-5)2Раскроем скобки по формуле квадрата суммы:
a2=(3+5)2+23+5·3-5+(3-5)2 a2=(3+5)+2(3+5)(3-5)+(3-5)Вычислим произведение под знаком корня (разность квадратов):
(3+5)(3-5)=32-(5)2=9-5=4Подставим найденное значение:
a2=3+5+24+3-5 a2=6+2·2=6+4=10Так как a2=10, то a=±10. Исходное выражение представляет собой сумму двух положительных арифметических квадратных корней, поэтому a>0. Выбираем положительный корень:
a=10Проверка:
В обоих случаях мы получили a2=10. Для пункта а) проверка знака корректна, так как уменьшаемое больше вычитаемого. Для пункта б) сумма положительных чисел всегда положительна. Ответы совпадают с ожидаемым результатом упрощения двойных радикалов через возведение в квадрат.
а) \sqrt{10}
б) \sqrt{10}
Решение основано на методе возведения в квадрат для снятия внешних радикалов. Важно учитывать знак исходного выражения при извлечении корня из полученного a2. В пункте а) разность положительна, в пункте б) сумма положительна.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 440 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 440?
Краткий ответ: а) √10; б) √10.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 6. Применение свойств арифметического квадратного корня.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.