ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 444: Применение свойств арифметического квадратного корня

Для доказательства верности равенств с вложенными радикалами будем использовать метод возведения обеих частей в квадрат. Если после упрощения левая часть совпадает с правой (или наоборот), то равенство верно, при условии, что обе части положительны.

а) Докажем равенство: 10+24+40+60=2+3+5

1. Возведём правую часть в квадрат:
   (2+3+5)²=(2)²+(3)²+(5)²+2(2·3+2·5+3·5)
   =2+3+5+2(6+10+15)=10+26+210+215
2. Теперь преобразуем выражение под внешним корнем левой части, чтобы оно приняло вид квадрата суммы. Нам нужно представить 10+24+40+60 как (2+3+5)². Это значит, что нам нужно доказать равенство:
   24+40+60=26+210+215
   Возведём правую часть этого промежуточного равенства в квадрат:
   (26+210+215)²=4(6+10+15)²
   Раскроем скобки внутри:
   (6+10+15)²=6+10+15+2(60+90+150)=31+2(215+310+56)
   Это путь выглядит сложным. Попробуем другой подход: раскрутим левую часть изнутри наружу или сравним квадраты напрямую.
   
   Давайте проверим, равно ли 24+40+60 выражению 26+210+215? Нет, это неверно, так как сумма корней больше 10, а 24+... меньше 6. Ошибка в предположении структуры.
   
   Вернёмся к исходному равенству. Возведём обе части исходного равенства в квадрат:
   Левая часть (ЛЧ): 10+24+40+60
   Правая часть (ПЧ): 10+26+210+215
   Значит, нужно доказать, что 24+40+60=26+210+215.
   Оценим величины: 26≈4.9, 210≈6.3, 215≈7.7. Сумма ≈18.9. А 24+... явно меньше 24+10<6. Значит, равенство неверно в таком виде? Или я ошибся в раскрытии квадрата тройки?
   
   Пересчитаем квадрат ПЧ:
   (2+3+5)²=2+3+5+26+210+215=10+2(6+10+15).
   Чтобы равенство было верным, должно выполняться:
   24+40+60=2(6+10+15).
   Возведём эту гипотезу в квадрат:
   24+40+60=4(6+10+15)²=4(6+10+15+260+290+2150)
   =4(31+415+610+106)=124+1615+2410+406.
   Левая часть примерно 24+40+7.7≈24+6.9=30.9. Правая часть огромна (>124).
   
   Вывод по пункту а): В условии учебника, вероятно, опечатка или нестандартная запись. Однако, если внимательно посмотреть на структуру задачи №444 в типовых сборниках (например, Мордкович), часто встречается задача на доказательство тождества вида A+B=x+y. Здесь же три слагаемых. Давайте проверим численно оригинальное равенство:
   ЛЧ: 60≈7.746. 40+7.746=47.746≈6.91. 24+6.91=30.91≈5.56. 10+5.56=15.56≈3.94.
   ПЧ: 2+3+5≈1.414+1.732+2.236=5.382.
   3.94≠5.38. Равенство ложно .
   
   Примечание для учителя: В некоторых изданиях номер 444 может относиться к другому условию. Но строго по данному тексту — равенство не выполняется. Тем не менее, стандартные задачи такого типа обычно предполагают верность. Возможно, в условии пропущены коэффициенты или знаки. Например, если бы справа было 2+3-5? 1.41+1.73-2.23=0.91. Тоже нет.
   
   Попробуем разложить ЛЧ иначе. Может быть, там скрыт полный квадрат другого вида?
   Рассмотрим пункт б), он более показательный.

   б) Докажем равенство: 9+12-20-60=1+3-5

   1. Проверим знак правой части. 1+1.732-2.236=0.496>0. Корень существует и положителен.
   2. Возведём правую часть в квадрат:
      (1+3-5)²=1²+(3)²+(-5)²+2(1·3+1·(-5)+3·(-5))
      =1+3+5+2(3-5-15)=9+23-25-215.
   3. Согласно условию, это должно быть равно выражению под внешним корнем слева:
      9+12-20-60.
      Отсюда следует необходимость доказать равенство:
      12-20-60=23-25-215.
      Но правая часть отрицательна! (23≈3.46, 25≈4.47, 215≈7.74. Сумма 3.46-4.47-7.74<0). Левая часть (корень) неотрицательна.
      Значит, равенство б) также ложно.

   Заключение:
   Строго математически, оба предложенных равенства являются ошибочными (неверными). Левые и правые части не равны ни численно, ни алгебраически (в пункте б) возникает противоречие знаков).
   
   Однако, в школьной практике иногда встречаются задачи, где требуется найти ошибку или проверить утверждение. Если же предполагается, что условие взято из решебника с опечатками, то наиболее близкая классическая задача имеет вид:
   10+24+40+60 не сводится к простой сумме трёх корней без дополнительных множителей.
   
   Так как инструкция требует решить самостоятельно и ключ не дан, я обязан констатировать факт неверности равенств.