ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 446: Применение свойств арифметического квадратного корня
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Илья Морозов, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Освободиться от внешнего радикала в выражении
а) \sqrt{a+2\sqrt{a-1}}, если a≥1
б) \sqrt{a + b+1+2√(a+b), если a+b≥1.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Для освобождения от внешнего радикала вида A±2B будем использовать формулу полного квадрата: (x±y)2=x2±2xy+y2. Нам нужно представить подкоренное выражение в виде квадрата суммы или разности двух слагаемых. После извлечения корня воспользуемся свойством x2=|x| и учтем условия на переменные для раскрытия модуля.
Вычисление:
а) Рассмотрим выражение a+2a-1, где a≥1.
Представим a как сумму (a-1)+1. Тогда подкоренное выражение примет вид:
a+2a-1=(a-1)+2a-1·1+1
Это полный квадрат суммы: (a-1+1)2.
Следовательно,
(a-1+1)2=|a-1+1|
Так как a≥1, то a-1≥0, а значит, сумма a-1+1>0. Модуль раскрывается без изменения знака:
a-1+1
б) Рассмотрим выражение a+b+1+2a+b-a+b+1-2a+b, где a+b≥1.
Обозначим x=a+b и y=1. Заметим, что a+b+1=x2+y2.
Первое слагаемое под корнем:
a+b+1+2a+b=(a+b)2+2a+b·1+12=(a+b+1)2
Второе слагаемое под корнем:
a+b+1-2a+b=(a+b)2-2a+b·1+12=(a+b-1)2
Теперь извлекаем корни, используя определение модуля:
(a+b+1)2-(a+b-1)2=|a+b+1|-|a+b-1|
По условию a+b≥1, следовательно, a+b≥1.
1) Для первого модуля: a+b+1>0, поэтому |a+b+1|=a+b+1.
2) Для второго модуля: так как a+b≥1, то a+b-1≥0, поэтому |a+b-1|=a+b-1.
Подставляем полученные значения:
(a+b+1)-(a+b-1)=a+b+1-a+b+1=2
Проверка:
а) Возведем ответ a-1+1 в квадрат: (a-1+1)2=(a-1)+2a-1+1=a+2a-1. Совпадает с исходным подкоренным выражением.
б) Подставим конкретные числа, например, пусть a=5,b=4, тогда a+b=9≥1.
Исходное выражение: 9+1+29-9+1-29=10+6-10-6=16-4=4-2=2. Ответ совпадает.
а) a-1+1
б) 2
Краткий ответ сверен с разделом «Ответы» учебника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 446 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 446?
Краткий ответ: а) √a-1+1; б) 2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 6. Применение свойств арифметического квадратного корня.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.